2023年4月19日墨子簡介
發(作者：舌尖上的童年)定理：任意酉矩陣A可以表示為A=U exp( S j ), 其中，U為實正交矩陣，S為實對稱矩陣, j為虛根單位。 證明：{分析：如果假設成立，那么由A=U exp(S j)，我們消去U，可得AA = exp(2S j)。由 T 假設S為對稱矩陣，因此存在正交矩陣V=(v 12n ,v,…,v)，使得S=VDV , 其中D為實對角矩 T 陣，D=diag(d 12n ,d,…,d)。那么 exp(2S j)=V exp(2D j) V T , 這樣就有(A T A)V =V exp(2D j),寫為分草地的英文
量形式為 立體風箏
(A T A)v= v , k=1,2,...,n. kk e 2d?j k 因此問題歸結為，對于A T A的任意特征值手機壁紙男
，存在花蝴蝶歌曲
一個實特征向量。} 由于A為酉矩陣，對于A TT A的任意特征值和相應特征向量x, 我們有AAx=x,即
A Ax xx x x形容笑容
和都是相應特征向量. 設x=u+jv的實部向量為u和虛A=, 因此對于特征值， xx ? A T x 部向量v,由于x為非零向量，因此u或v至少一個為非零向量，因此，對于A T A的任意特 征值，存在一個實特征向量。 又因為A TTT A鐘家田園日記
為酉矩陣,所以AA為正規矩陣，存在實正交矩陣V和對角矩陣D使得AAV 1 =VD 11112n 且D的每個對角元素為單位復數。因此可設D=diag(), 其中,,..., ee我敬佩的一個人作文
e j?j?
12
j?
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為實數，并且根據復指數函數的周期性，我們可以選擇0≤≤2，或者?≤≤，k=1,2,...,n.
kk 令D=(1/2) diag(
12n ,,...,)得到(AA)V =V exp(2D j),因此 T AA =V exp(2D j)V=exp(2j?VDV) TTT 令S=VDV T , U=A exp(?S j). 那么顯然由U=A exp(?S j)有A=U exp(S j);由A TTT A =exp(2j?VDV)得到AA =exp(2j?S). 下面證 明U為實正交矩陣。 事實上，由U=A exp(?S j) 血脂稠怎么辦
可得 U TTT?1 U=exp(?S j) AA exp(?S j)=exp(?S j)exp(2S j)exp(?S j)= I, 因此U= (U) 另外顯然有U HT?1. U= I, 因此= (U)從而可得U=.這樣也就證明了U為實正交 UU 矩陣。 . 由定理的證明過程可以看出，實正交矩陣和對角矩陣D的取法都不唯一，因此酉矩陣的分 解也不唯一。
