馬科維茨《資產組合選擇》讀書報告
摘 要
投資者采取最大化折現期望或預期回報的準則，該準則不足以作為立論的前提假設和引領投資者行為的最大化原則，它不能得出存在一個優于所有非分散化組合的分散化資產組合。馬科維茨用幾何方法表示了主觀信念和資產組合選擇之間依照“期望E回報——回報方差V”準則形成的關系。E-V準則得出投資者將希望選擇可行組合中最富有效率的一個，也就是給定E 或者更大時V 最小，以及給定V 或更小時E 最大，該準則得出的有效資產組合幾乎都是分散化的。本文用三只證券的案例及一些簡單的數學模型，主要考察資產組合選擇過程的第二個階段：從對所包括的證券的相關主觀信念形成資產組合選擇。
【關鍵詞】分散化 E-V準則 組合選擇
1952年，馬科維茨在《金融雜志》上發表題為《資產組合選擇》一文，該文堪稱現代金融理論史上的里程碑，標志著現代組合投資理論的開端。該論文最早采用風險資產的期望收益率（均值）和用方差（或標準差）代表的風險來來研究資產組合和選擇問題。馬柯維茨根據風
險分散原理，應用二維線性規劃的數學方法，揭示了如何建立投資組合的有效邊界，使邊界上的每一個組合在給定的風險水平下獲得最大的收益，或者在收益一定的情況下風險最小。同時馬柯維茨認為，投資組合的風險不僅與構成組合的各種證券的個別風險有關，而且受各證券之間的相互關系的影響，相關系數越大，代表風險的方差越大，因此我們應當在產業間進行分散化投資組合選擇，必須避免投資于具有很高相關性的證券。
一、馬科維茨投資組合模型的前提假設
（一）從對所包括的證券的相關主觀信念形成資產組合選擇
在文章的開頭和結尾，馬科維茨一直在強調他研究的著眼點是資產組合選擇過程的第二個階段，即從對備選證券未來表現的有關主觀信念形成資產組合選擇。在這之前，傳統的經濟學家多從資產組合選擇過程的第二個階段出發，即從觀察和經驗形成對備選證券未來表現的主觀信念。這樣的經驗觀察多是用描述性的語言對金融問題進行研究，研究結果缺乏數據支撐及數學模型的論證。而馬科維茨與眾不同的著眼點，資產組合選擇一定會涉及到有限資源下如何做選擇的問題，他巧妙地借用了數學中的期望和方差及線性規劃等工具來定義預期回報及其不確定新及他們形成的組合，解出來最有效率的資產組合選擇。馬科維
茨使金融學開始擺脫了純粹的描述性研究和單憑經驗操作的狀態, 標志著數量化方法進入金融領域。
（二）分散化資產組合選擇
傳統的經濟學家往往會把預期收益最大化作為投資的最終目標和準則，而馬科維茨認為該準則不能得出存在一個優于所有非分散化組合的分散化資產組合，應該被摒棄。盡管投資管理人和經濟學家早就意識到了把收益和風險同時考慮的必要性，然而他們卻忽略了投資分散化和預期收益最大化之間的矛盾。馬科維茨認為在證券組合選擇過程中，如果一個投資者僅僅是使預期收益最大化，那么他永遠不會選擇投資分散化。如果一種證券的預期收益高于任何其他證券，投資者會將所有的資金投放在這種股票上。如果幾種股票有相同的最大的預期收益，投資者將會把投資局限在這幾種證券之間，而忽視證券組合的分散化。因此他說考察投資者采取（或者應當采取）追求期望回報，回避回報方差的準則。這一準則作為投資者行為最大化原則和前提假設具有許多優點，可以能得出分散化優越性。
二、馬科維茨均值-方差模型或者E-V準則
根據馬柯維茨理論的前提假設：投資者僅依靠投資的預期收益和預期風險來做出決定。先介紹數學中的期望與方差，再介紹證券預期回報和風險的計算方法。
（一）數學中期望與方差
Y為值是偶然性確定的隨機變量，取有限個值y1，y2，…，yN. 對應的概率分別為p1，p2，…，pN ，
Y的期望：E=p1y1+p2y2+…+pNyN
Y的方差：V=p1(y1-E)^2+p2(y2-E)^2+…+pN(YN-E)^2。
假設有一系列隨機變量R1,R2,…,Rn,如果R是Ri的加權和（線性組合） 則R = a1 R1 +a2 R2 +…+an Rn，那么R也是隨機變量。
加權和的期望值是期望值的加權和:E(R)= a1 E(R1) +a2E( R2 ）+…+anE( Rn)
加權和的方差為:V（R）=
其中Ri和Rj的協方差為σij=E { [ Ri -E（Ri）] [ Rj -E（Rj）] }
它用相關系數ρij來表示為σij= ρijσiσj，等于它們的相關系數乘以Ri的標準差再乘以Rj的標準差。如果運用Ri的方差為σii的事實，則
馬科維茨認為風險資產（如證券）的收益是不確定的，在不同的情況下其收益表現一般不同。為了衡量該種資產的平均收益率，馬科維茨提出了期望收益率（均值）這一概念。它等于該資產在各種可能狀態下收益率的加權平均數，權數為各種可能狀態下的幾率。實際收益率與期望收益率一般總存在一些差距，這種差距產生的不確定性就是風險。馬科維茨用方差（或標準差）對其進行衡量。它等于實際收益率和期望收益率之間差額的平方的加權平均數，權數為各種可能狀況的幾率。將方差開方后取絕對值，就得到了標準差。但是注意到資產的方差與資產間的相關系數有關。
（二）投資組合的期望回報和期望風險
設有 N 種證券，不允許賣空，同時滿足分散化投資和最大化期望回報存在
rit為t 時期投資于證券i的每單位貨幣的預期回報（不管其如何確定） ，dit為第i個證券在時期t 的回報折現為現值的比率，Xi為投資于證券i 的相對數量。
組合的折現預期回報R為
第 i 個證券的折現回報Ri為
則組合的折現預期回報R為:
Xi與Ri獨立，所有Xi的和為1，R 是以非負的Xi為權數的Ri的加權平均，為了最大化R，我們對Ri最大的i 取Xi =1。如果某些Rɑa，a=1，… ，K 最大，那么只要滿足都可以
資產組合整體的期望回報E，μi為Ri的期望值；
資產組合整體的期望風險V是 ，σij為Ri和Rj的協方差.
通常如果用“期望收益”或“期望回報”替代“收益”， 用“回報方差”或“方差”替代“風險”，不會引起表面含義的變化。
（三）投資組合選擇的E-V準則
在用期望收益率（均值）和方差（或標準差）對資產組合的平均收益率和風險進行度量之后，馬科維茨提出了有效資產組合的概念。有效的資產組合是指在特定的風險下，期望收益率最高的資產組合；或在特定的期望收益率下，風險最小的資產組合，只有這樣的組合才是投資者的合理選擇。這是因為證券回報的關聯性太強，分散化就不能抵消所有的方差。具有最大期望回報的資產組合不一定具有最小方差。 存在一個投資者可以在控制方差的前提下獲得期望回報，或者在放棄期望回報的前提下減少方差的比率。 這就是E-V準則，即給定E 或者更大時V 最小，以及給定V 或更小時E 最大。如圖1所示
圖1
三、馬科維茨理論在三個證券案例中的具體應用
在三只證券的情況下，我們的模型減少為
將X3=1-X1-X2代入1）和2）可以得到用X1和X2表示的E和V，簡記為
其中
進一步化簡
我們將給定期望回報時所有點（資產組合）構成的集合定義為“等均值”線。可以看出，如果我們改變E，截距會改變但是等均值線的斜率不會改變。這就確定了等均值線構成一簇平行直線的結論。同樣，將給定回報方差時所有點構成的集合定義為“等方差”線。同樣地，通過簡單地應用幾何分析，我們確定等方差線構成一簇同心橢圓。曲線簇的“中心”是最小化V 的點，我們將該點標記為X，將它的期望回報和方差標記為E 和V。偏離X 越遠時，方差會增加。“資產組合可行集”：由所有滿足下列約束組合構成 ：
X1≥0，X2 ≥ 0，1- X1- X2 ≥ 0，X3 = 1 – X1 – X2。
“有效組合”:給定E 或者更大時V 最小，以及給定V 或更小時E 最大。在圖形當中是在可行集內等均值線和等方差線相切的點的軌跡。如下圖2粗折現所示：
圖2
在三只證券的情形下，E = a0 + a1X1+ a2X2是一個平面； V = b0+b1X1+ b2X2+b12X1X2 + b11X21 +b22X22 是一條拋物線。如圖3 所示，E-平面在有效組合集之上的部分是一系列折線段。V-拋物線在有效組合集之上的部分是一系列拋物折線。如果就有效組合的E 畫出V，我們也將得到一系列拋物折線（見圖4）
圖3
圖4
具有 4 只證券的有效集，如同具有3 只證券和N 只證券的情形一樣，是一
系列折線段。有效集的一端是方差最小的點，另一端是期望回報最大的點。我們可以使用該方程在三維空間中表示四只證券。消去 X4，我們得到E=E（X1，X2，X3），V=V（X1，X2，X3）。在三維空間中，用向量（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）將可行集表示為四面體，資產組合表示為X4=1，X3=1，X2=1，X1=1。如圖5所示
圖5
就像在二維的情形一樣，具有最小可取方差的點可能在可取集內或者在其中的一條邊界上。一般地我們沿著一條給定的臨界線直到這條線或者與一個較大的子空間相交，或者觸及一條邊界（以及同時具有較低維數子空間的臨界線）。在上述任何一種情況下，效率線會反轉并且沿著新的直線連續。當到達具有最大E 值的點時，效率線將終止。
四、馬科維茨理論在實踐中具體應用
（一）理論分析
在理論分析中，我們會考察諸如對公司普遍持有的主觀信念的變化、或者對期望回報與回報方差偏好的一般性變化、或者證券供給的變化所產生的各種效應。在我們的分析中，Xt可以表示單只證券或者表示如債券、股票和房地產的總體。
假設投資者在兩個組合之間進行分散化（即他將一部分資金投入一個組合，將其余的資金投入另一個組合。在組合之間進行分散化的一個例子是買入兩個不同投資公司的股份）。如果兩個原始組合P’=（X’1，X’2）， P’’=（X”1 ，X”2） 的方差相等，那么一般地最終的（復合）p組合的方差將小于任何一個原始組合的方差。
