公平的席位分配問題
席位分配在社會活動中經常遇到，如：人大代表或職工學生代表的名額分配和其他物質資料的分配等。通常分配結果的公平與否以每個代表席位所代表的人數相等或接近來衡量。目前沿用的慣例分配方法為按比例分配方法，即：
某單位席位分配數 = 某單位總人數比例總席位
如果按上述公式參與分配的一些單位席位分配數出現小數,則先按席位分配數的整數分配席位,余下席位按所有參與席位分配單位中小數的大小依次分配之。這種分配方法公平嗎？下面來看一個學院在分配學生代表席位中遇到的問題：
某學院按有甲乙丙三個系并設20個學生代表席位。它的最初學生人數及學生代表席位為
系名 甲 乙 丙 總數
學生數 100 60 40 200
學生人數比例 100/200 60/200 40/200
席位分配 10 6 4 20
后來由于一些原因，出現學生轉系情況，各系學生人數及學生代表席位變為
系名 甲 乙 丙 總數
學生數 103 63 34 200
學生人數比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20
按慣例席位分配 10 6 4 20
由于總代表席位為偶數，使得在解決問題的表決中有時出現表決平局現象而達不成一致意見。為改變這一情況，學院決定再增加一個代表席位，總代表席位變為21個。重新按慣例分配席位,有
系名 甲 乙 丙 總數
學生數 103 63 34 200
學生人數比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21
按慣例席位分配 11 7 3 21
這個分配結果出現增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情況，這使人覺得席位分配明顯不公平。這個結果也說明按慣例分配席位的方法有缺陷，請嘗試建立更合理的分配席位方法解決上面代表席位分配中出現的不公平問題。
模型構成
先討論由兩個單位公平分配席位的情況，設
單位 人數 席位數 每席代表人數
單位A p1 n1
單位B p2 n2
要公平，應該有=， 但這一般不成立。注意到等式不成立時有
若 >，則說明單位A 吃虧(即對單位A不公平 )
若<，則說明單位B 吃虧 (即對單位B不公平 )
因此可以考慮用算式 來作為衡量分配不公平程度，不過此公式有不足之處（絕對數的特點），如：
某兩個單位的人數和席位為 n1 =n2 =10 ， p1 =120， p2=100， 算得 p=2
另兩個單位的人數和席位為 n1 =n2 =10 ， p1 =1020，p2=1000, 算得 p=2
雖然在兩種情況下都有p=2，但顯然第二種情況比第一種公平。
下面采用相對標準，對公式給予改進，定義席位分配的相對不公平標準公式：
若 則稱 為對A的相對不公平值， 記為
若 則稱 為對B的相對不公平值 ，記為
由定義有對某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值盡量小的分配方案來減少分配中的不公平。
確定分配方案：
使用不公平值的大小來確定分配方案，不妨設>，即對單位A不公平，再分配一個席位時，關于,的關系可能有
1. > ,說明此一席給A后,對A還不公平;
2. < ,說明此一席給A后,對B還不公平,不公平值為
3. > ,說明此一席給B后,對A不公平,不公平值為
4.< ,不可能
上面的分配方法在第1和第3種情況可以確定新席位的分配，但在第2種情況時不好確定新席位的分配。用不公平值的公式來決定席位的分配，對于新的席位分配，若有
則增加的一席應給A ，反之應給B。對不等式 rB(n1+1,n2)<rA (n1,n2+1)進行簡單處理，可以得出對應不等式
引入公式
于是知道增加的席位分配可以由Qk的最大值決定，且它可以推廣到多個組的一般情況。用Qk的最大值決定席位分配的方法稱為Q值法。
對多個組（m個組）的席位分配Q值法可以描述為：
1．先計算每個組的Q值：
Qk , k=1,2,…,m
2．求出其中最大的Q值Qi（若有多個最大值任選其中一個即可）
3．將席位分配給最大Q值Qi對應的第i組。
這種分配方法很容易編程處理。
模型求解
先按應分配的整數部分分配，余下的部分按Q值分配。 本問題的整數名額共分配了１９席，具體為：
甲 10.815 n1 =10
乙 6.615 n2 =6
丙 3.570 n3 =3
對第２０席的分配，計算Q值
Q1=1032/(1011) = 96.45 ; Q2=632/(67)= 94.5; Q3 =342/(34)=96.33
因為Q1最大，因此第２０席應該給甲系; 對第２１席的分配，計算Q值
Q1=1032/(1112)=80.37 ; Q2 =632/(67)=94.5; Q3 =342/(34)=96.33
因為Q3最大，因此第２1席應該給丙系
最后的席位分配為：
甲 １１席 乙 ６席 丙 ４席
注：若一開始就用Q值分配，以n1=n2=n3 =1逐次增加一席，也可以得到同樣的結果。
簡評：本題給出的啟示是對涉及較多對象的問題，可以先通過研究兩個對象來找出所考慮問題的一般的規律，這也是科學研究的常用方法。請對一般情況編程。
