數形結合思想教學案例

一、數形結合思想方法簡述

數形結合是小學數學中常用的、重要的一種數學思想方法。數形結合思想的實質即通過

數形之間的相互轉化，把抽象的數量關系，通過形象化的方法，轉化為適當的圖形，從圖形

的結構直觀地發現數量之間存在的內在聯系，解決數量關系的數學問題，這是數形結合思想

在小學數學中最主要的呈現方式。另外，數形結合思想在關于幾何圖形的問題中，用數量或

方程等表示，從它們的結構研究幾何圖形的性質與特征，這是另一種呈現方式。

在小學數學中，運用數形結合的思想，充分利用“形”把題中的數量關系形象、直觀的

表示出來，如通過作線段圖、樹形圖、長方形面積圖、集合圖、數軸等，幫助學生理解抽象

的數量關系、數學概念，使問題簡明直觀，甚至使一些較難的問題迎刃而解。

應用數形結合解題，從抽象到直觀，再由直觀到抽象，既能培養學生的形象思維能力，

又促進邏輯思維能力的發展。對大腦的科研成果表明，人的大腦兩個半球具有不同的功能，

左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規范嚴謹、穩定封閉，如數的運算、邏輯推理、歸

納演繹等；右半腦功能側偏重于形象思維，講究直覺想象、自由發散，如猜想、假設、構思

開拓、奇異創造等。左、右半腦的功能各有特征，如果互相補充就會使大腦功能更加健全和

發達。“數形結合”就同時運用了左、右半腦的功能，既培養學生的形象思維能力，又促進

邏輯思維能力的發展。

通過數形結合，有助于學生對數學知識的記憶。數學是十分抽象的概念、公式、定理、

規律等，數形結合使抽象的數學盡可能形象化，對學生輸入的數學信息的映象就更加深刻，

在學生的腦海中形成數學的模型，可以形象地幫助學生理解和記憶。如新課標人教版三年級

上冊比較分子相同分母不同的分數大小時，通過十分直觀的圖形，幫助學生理解記憶，掌握

“平均分的份數越多，每一份越少”這一很抽象的數學邏輯，使學生印象深刻。

應用數形結合，還可以訓練學生數學直覺思維能力。在數學里，存在著大量的概念、定

理、公式、以及典型題例等。當學生解答問題時，通過仔細閱讀條件與問題，往往通過第一

直覺進行判斷，這是一個什么方面的問題，需要用什么知識點進行解答，這就是所謂的直覺

思維。在數學教學中，教師通過數形結合訓練學生的直覺思維，讓學生養成整體觀察，從整

體上對數學對象（條件、問題）及其結構（數量關系）迅速識別、判斷，進而作出大膽的猜

想、合理的假設，并作出試探性的結論。如教學行程問題中的相遇與追及問題時，教學中通

過畫線段圖，幫助學生理解、掌握相遇問題與追及問題的數量關系，聯系與區別，從而使學

生在解決這類問題時，即使不再畫圖，也能做到直觀地判斷出解決的問題是相遇問題，還是

追及問題，正確的應用相應的數量關系進行解答。

應用數形結合的思想，培養學生的發散思維能力。發散思維是從同一來源的材料或同一

個問題，探求不同思路和方法的思維過程，其思維方向是從不同角度、不同方面看待同一個

問題。在數學教學中，常常借助“一題多解”或“一題多變”的形式，突出已知條件與問題

之間的矛盾聯系，來激發學生提出新的思想、新的方法、新的問題，達到知識融會貫通，發

展思維的廣闊性和靈活性，激勵學生的好奇心和求知欲，提高解決問題的應變能力。如教學

相遇問題時，運用線段圖的不同呈現方式，使學生理解兩種解法。

應用數形結合思想，還有可有效地培養學生的創造性思維能力。創造性思維能力是思

維的最高境界。當前，對學生進行綜合素質和能力的培養，是培養創造性人才的需要。只有

具有創造性思維能力的人，才能在各自的領域中有所創造發明，才能推動科學技術、人類社

會的不斷發展。在數學教學中，教師可通過編選一些探索性的題目，運用數形結合的思想，

引導學生去研、去探討、去發現，讓他們不是從頭腦中已有的思維形式和思維方法中去找答

案，而是從問題的本身進行具體的分析研究，進行一系列探索性思維活動，將已有的思維方

式大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選中解決問題的方法。如學習了重疊問題后，學生

對兩兩重疊較易理解掌握，能正確解題，但三三重疊學生理解起來就很困難：兩兩重疊部分

1

要減去，為什么三三重疊部分要加上呢？在這里，教師用單純的語言文字是不能說清楚的，

只有通過讓學生畫圖，理解三三重疊部分在前面的加減中一次也沒有計算，還需要加上去。

二、數形結合思想方法在教材中的滲透

1、數形結合幫助學生建立起數學基本概念，形成整個數學知識體系。數學是思維的階梯。

縱觀整個小學數學教材，從一年級到六年級，無不充分體現數與形的有機結合，幫助學生從

直觀到抽象，逐步建立起整個數學知識體系，培養學生的思維能力。

在一年級上冊中，學生剛學習數學知識時，教材首先就是通過數與物（形）的對應關系，

初步建立起數的基本概念，認識數，學習數的加減法；通過具體的物（形）幫助學生建立起

初步的比較長短、多少、高矮等較為抽象的數學概念；通過圖形的認識與組拼，在培養學生

初步的空間觀念的同時，也初步培養學生的數形結合的思想，幫助學生把數與形聯系起來，

數形有機結合。在以后年級的學習中，隨著學生年齡的增長，思維能力的不斷提高，數與形

的結合就更加廣泛與深入。

在二年級上冊學習乘法與除法的意義時，通過數與物（形的）對應結合，幫助學生理解

掌握乘法與除法的意義，并抽象地運用于整個數學學習中。在三年級上冊分數的初步認識中，

通過具體的形的操作與實踐，讓學生充分理解“平均分”，幾分之一，幾分之幾等數學概念，

掌握運用分數大小的比較，分數的意義，分數的加減等，使數形緊密地結合在一起，把抽象

的數學概念直觀地呈現在學生面前，幫助學生理解掌握分數的知識。在四年級下冊小數的意

義的學習中，小數是一個十分抽象的概念，它與分數相比更加抽象。我們同樣是通過數與形

的結合，幫助學生理解掌握小數的意義、小數的大小、小數的性質。通過1米=10分米，讓

學生理解1分米=0.1米，并類推出1厘米=0.01米，1毫米=0.001米；通過數與形完美的結

合——數軸，讓學生理解小數的組成、小數大小的比較、小數與整數的關系等。總之，一句

話，數形結合貫穿著整個數學領域，在幫助學生建立初步的數學概念，培養學生基本數學思

維能力中起著十分重要，而且不可替代的作用。

2、數形結合貫穿著整個數學知識的應用（解決問題）的教學。

在一年級下冊剛接觸比多比少應用題教學時，通過數與物（形）的對應關系，幫助學習建

立起同樣多、多的部分、少的部分、大的數、小的數等較抽象的數學概念，從而理解掌握比

多比少用大的數減去小的數，求大的數用小的數加上多的部分（或少的部分），求小的數用

大的數減去少的部分（或多的部分）。有的學生在剛學習比多比少應用題時，未能很好的建

立起數與形的有機結合，未充分理解掌握比多比少的基本數量關系，而是機械地記憶“多”

字用加法，“少”字用減法。這樣的學生我們在教學中發現的還不在少數。

在二年級上冊進行倍數應用題的學習時，教材首先是通過數與物（形）的結合，幫助學習

初步建立起倍數的意義，即求一個數的幾倍，就是求幾個這樣的數是多少。在學生初步建立

起倍數的概念（意義）的基礎上，逐步過渡到數與形結合，即畫線段圖，幫助學習理解掌握

倍數的意義。在這里，教材從最初的最直觀的數物（形）結合，逐步過渡到由圖形代替物體

——數形結合，初步建立起數學語言——數與形，使學生逐步從最直接的感知發展到較為抽

象的數學知識，初步建立起今后數學學習的基本途徑與方法，與數學思想——數形結合。

在相遇問題、追及問題、和差問題、和倍問題、工程問題、分數應用題、比例應用題、列

方程解應用題等許多解決問題的教學中，無不充分地運用數形結合，把抽象的數量關系，通

過畫線段圖、集合圖、長方形面積圖、列表格等方式，數形結合，呈現為較為具體直觀的數

學符號，使較復雜的數量關系簡單明了，有利于分析題中數量之間的關系，豐富學生表象，

引發聯想，啟發思維，拓寬思路，化繁為簡，化難為易，迅速找出解決問題 的方法，提高

學生分析問題和解決問題的能力。

在解決雞兔同籠問題，即采用假設法解題時，運用數形結合，可以使極為抽象的假設法變

得直觀形象。如：有一只籠子，籠子中有雞也有兔，雞和兔共有5只，腿有14條。你們知

2

道雞有幾只，兔有幾只嗎？題中有兩個變量：雞和兔，雞的只數增多，兔的只數就要減少，

反之雞少了兔就多了，但它們的總的只數和腿的條數是不變的。教學中，讓學生理解雞與兔

是兩個變量十分困難，教師單純用語言是無法讓學生很好的理解的。采用數形結合，讓學生

通過想想——畫畫——再想想——再畫畫，幫助學生理解這雞兔這兩個變量，從而解決問題。

3、數形結合幫助小學生建立起初步的幾何知識體系，發展空間觀念，為今后的數學學習

打下堅實的基礎。在一年級下冊圖形的組拼中，通過數圖形，如，讓學生不斷地把玩方積木，

用多少不等或相等的積木不斷堆砌不同的形狀，體驗數與形的結合，感知空間圖形，進而抽

象出一排有幾個，有幾排，有幾層等空間觀念，為長方形的面積公式推導、長方體的體積公

式推導等奠定基礎。在三年級下冊長方形面積公式推導中，通過讓學生用1平方厘米的小正

方形擺放長方形面積，擺出長有幾厘米就能擺幾個，寬有幾厘米就能擺幾排，抽象出長方形

的面積就是長與寬的乘積。在長方體體積公式推導中，也同樣運用數與形的有機結合，通過

學生用1立方厘米的小正方體擺放長方體的體積，得出長是幾厘米就是一排擺幾個，寬有幾

厘米就能擺幾排，高有幾厘米就是能擺放幾層，進而逐步抽象概括出長方體的體積=長×寬

×高。

4、數形結合幫助學生建立起初步的分類與集合的思想。在四年級下冊三角形按角分類中，

運用集合圖，數形結合，讓學生充分理解銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形這三類三角

形之間的關系。同樣，在四年級上冊四邊形的分類中，也是運用數形結合的集合圖，幫助學

生理解各種四邊形之間的聯系與區別。

5、運用數形結合，幫助學生理解較抽象的數學、數量關系，培養學生邏輯思維能力。

在現行人教版課標本數學教材中，引入了大量的以前認為是奧數的，但在現實生活中卻經常

應用的數學內容，如三年級下冊重疊問題（P108例1）、四年級上冊策略問題（P112例1、

P113例2、P115例3）、四年級下冊植樹問題（P117例1、P118例2）、二年級上冊（P99例

1）與三年級上冊排列組合（P112例1、P113例2、P114例3）、一年級下冊、二年級下冊、

五年級上下冊找規律等。

在教學中，如果不采用數形結合，把抽象的數學概念形象直觀化，學生根本不能理解掌

握運用。如三年級下冊重疊問題（P108例1：三（1）班參加語文、數學課外小組學生名單。

語文組：楊明、李芳、劉紅、陳東、王愛華、張偉、丁旭、趙軍；數學組：楊明、李芳、劉

紅、王志明、于麗、周曉、陶偉、盧強、朱小東。參加課外小組的學生有多少人），教學中，

引導學生數出參加語文組的有8人，參加數學組有有9人，但這兩個小組沒有8+9=17人，

這是為什么呢？引導學生通過畫出韋恩集合圖，讓學生充分明白：有3個重復的，8+9多計

算了一次，需要減去，兩個小組實際只有8+9－3=14（人）。在植樹問題中（P117例1：同

學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？），

只有通過畫圖，讓學生充分理解植樹棵數與間隔數的關系，才能幫助學生理解兩端要植：棵

數=間隔數+1，兩端不植：棵數=間隔數－1，一端植：棵數=間隔數。二年級上冊（P99例1）

與三年級上冊（P112例1、P113例2、P114例3）排列組合中，如果用高中數學中什么是

排列、什么是組合來教學生，學生只能是“坐飛機”，云里霧里，不知所云，而采用數形結

合——連線的方法，既做到不重不漏，又不把排列組合的知識強加給學生，還讓學生運用起

來得心應手。在策略問題中，運用數形結合，畫圖形操作，讓繁瑣的語言敘述直觀化，簡單

明了，化難為易。在找規律教學中，通過畫圖操作，逐步發現規律，并運用規律解決問題。

以上等等，都是通過數與形的有機結合，使以前認為普通學生學習起來較難理解與掌握的奧

數知識，變得形象直觀，學生人人都能掌握運用了。

三、教學示例

在小學數學中，數形結合的思想運用十分廣泛，以下試舉數例，通過由易到難，以期能達

到舉一反三的目的。

3

示例一： 8個☆分成兩堆，有幾種分法？（一年級上冊P55 8的認識 ）

教學建議：通過讓學生擺放8個☆分成兩堆的不同放法，理解8的分解與組成，并逐步

理解掌握8的加法與減法。

8 8

8 8

7 1 6 2 5

3 4 4

7+1=8 6+2=8 5+3=8 4+4=8 8－7=1

8－6=2……

示例二：比較○、○的大小。（三年級上冊P93例3）

教學建議：通過引導學生用圖形畫出、，并理解它們的意義，比較出>；

接著讓學生畫出與，并理解它們的意義，比較出∠。如下圖所示：

>

∠

最后，再引導學生想明算理：同一個物體，平均分的份數越多，每一份

越小；反之，平均分的份數越少，每份越大。歸納規律，得出分子相同的分數比較大小，分

母大的分數小，分母小的分數大。

示例三：在直線上表示下面各數，并比較大小。（四年級下冊P644題）

0.12○0.28 0.25○0.16 0.4○0.04

0 0.1 0.2 0.3 0.4

教學建議：通過讓學生在數軸上表示數，進一步理解小數的組成、大小，并掌握小數大小比

較的方法。

示例四：第一行擺●●，第二行擺第一行的4倍。第二行擺幾個？（二年級上冊P76例3）

教學建議：在二年級學生剛接觸倍數問題時，關鍵是要通過數物結合、數形結合，幫助學生

通過直觀的實物、圖形（線段圖），牢固建立倍數問題的數量關系。

首先通過實物演示，讓學生理解倍數的意義：第二行是第一行的的4倍，就是求4個2是多

少？

小紅：●●

小剛：●● ●● ●● ●●

接著，通過畫線段圖，幫助學生樹立初步的數形結合思想，即用圖形代表數，反應數與數的

關系。

2個圓圈

第一行：

是第一行的4倍，？個

第二行：

示例五：8和12的公因數有哪些？最大的公因數是幾？（五年級下冊P27例4）

教學建議：首先，讓學生采用常規寫法寫出8和12的因數，并找出公因數和最大公因數。

8的因數有：1、2、4、8

12的因數有：1、2、3、4、6、12

由于找起來較麻煩，引導學生把它們改為數形結合的集合圖形式。

8的因數 12的因數

4

8和12的公因數

最后，引導學生觀察：兩個數的最大公因數就是它們其余公因數的乘積。再引導學生理解用

短除法求兩個數的最大公因數較為方便。（短除法略）

示例六：某廠去年生產白糖700噸，今年比去年多生產，今年生產白糖多少噸？（六年級上

冊分數應用題）

教學建議：根據題意，畫線段圖為：

“1” 700噸

去年：

今年： ？噸

這樣，學生理解起來覺得很形象直觀，一下子就能找到解答的方法。

示例七：某班有學生56人，參加作文競賽的有28人，參加數學競賽的有27人，兩科競賽

都沒有參加的有25人，那么同時參加作文、數學競賽的學生有多少人？（三年級下冊較復

雜的重疊問題）

教學建議：在重疊問題中，條件的敘述象繞口令一樣，糾纏難懂，學生單純靠抽象的語言的

確難理解，利用集合圖表達各部分的關系就容易得多了。

全班56人

同時參加作文、數學競賽的人數

學生通過對圖的分析、理解，很快就能列出多種解法。

解法一：56－25=31（人） 28+27－31=24（人）

解法二：28+27+25－56=24（人）

示例八：小紅有兩件上衣，三件下裝，她一共有幾種不同的穿法？（三年級上冊P112例1）

教學建議：題意畫圖為： T恤衫 牛仔衣

裙子 牛仔褲

西褲

示例九：2002年世界杯足球賽C組有巴西隊、土耳其隊、中國隊和哥斯達黎加隊。每兩個

隊踢一場比賽，一共要踢多少場比賽？（三年級上冊P114例3）

按題意畫圖為：

或：巴西 土耳其 中國 哥斯達黎加

在排列組合題中，排列與順序無法，組合與順序有關，但對于三年級學生用這樣抽象的語言

教學，不可能有一點效果。而采用直觀的畫圖連線就十分清楚明白了。

示例十：五一班同學分三次給敬老院送溫暖。第一次送了10千克大米、10千克面粉、10

千克食油，合人民幣140元；第二次送了20千克大米、15千克面粉、10千克食油，合人民

幣180元；第三次送了25千克大米、20千克面粉、10千克食油，合人民幣205元。求大米、

面粉和食油每千克各多少元？

教學建議：本題條件太多，學生讀后可能頭都暈了。把條件用表格的形式排列出來，引導

學生對照、比較、分析，就不難求解了。

大米 面粉 食油 人民幣

第一次 10 10 10 140

第二次 20 15 10 180

第三次 25 20 10 205

5

通過觀察比較，第二次與第一次相比較：多送大米10千克，面粉5千克，多付錢180－

140=40（元）；第三次與第二次相比較：多送大米5千克，面粉5千克，多付錢205－180=25

（元）。又列表如下：

多送大米 多送面粉 多付錢

第二次與第一次比較 10 5 40

第三次與第二次比較 5 5 25

現在學生很容易看出：面粉的數量不變，多送了千克大米，就多付了錢40－25=15（元），

可求出大米每千克：15÷5=3（元），進而求出面粉每千克：（40－3×10）÷5=2（元），食

油每千克：（140－3×10－2×10）÷10=9（元）。

像這樣數據較多的問題，采用列表的方法，易于揭示數量之間的關系，使思路清晰，采用

最優化方法解題。

綜上示例，不難看出，采用數形結合思想方法解題，關鍵是要讓數形有機結合，把抽象

的數學問題形象化、直觀化，從而化繁為簡，化難為易。

四、教學中應注意的問題

一、在教學中，必須要把數與形有機地結合起來，既不能脫離形來談數，又不能丟開數

談形。形是數的直觀呈現，數是形的邏輯表達。數與形是辯證統一的。只有這樣，才能把學

生的形象思維與邏輯思維有機地結合起來，做到數中有形，形中有數，培養學生的辯證思維

能力。

二、在低段數學教學中，一定要把握好由形象直觀——抽象概括的“度”。教學中一定

要從直觀的實物呈現，逐步抽象概括出數理、算理知識，并逐步過渡到由“實物呈現”轉變

為由“形代替實物”的“形呈現”，從而實現思維的質的飛躍。

三、在數學教學活動中，要通過數與形的結合，有的放矢地幫助學生多角度、多層次地

思考問題，培養學生多向思維的好習慣。

四、在數學教學中，還要重點培養學生理解掌握數形結合的表現形式，即通過對題目的

閱讀理解，用正確的方式畫圖表達出題意，從而實現把題目的抽象敘述變為直觀呈現，化繁

為簡，化難為易的目的。

總之，在小學數學教學中，數形結合能不失時機地為學生提供恰當的形象材料，可以將

抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學生順利地、高效率地學好

數學知識，更用于學生學習興趣的培養、智力的開發、能力的增強，為學生今后的數學學習，

甚至物理、化學等理科的學習打下堅實的基礎。

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