遼寧省大連市第七十九中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2023年12月5日發(fā)(作者：開放性問題)

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遼寧省大連市第七十九中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1. 已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，f (0) = 1，則不等式的解集為（ ）

A．(0,+∞) B．(1,+∞) C．(－2,+∞) D．(4,+∞)

參考答案：

A

令，則，故為上的減函數(shù)，有等價(jià)于，即，故不等式的解．

2. 下列函數(shù)中周期為π且圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱的函數(shù)是( )

A．y=2sin（+） B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（2x+） D．y=2sin（﹣）

參考答案：

B

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的對(duì)稱性．

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．

分析：先求出函數(shù)的周期，再根據(jù)當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)是否取得最值，從而判斷函數(shù)是否滿足條件，從而得出結(jié)論．

解答： 解：A．函數(shù)y=2sin（+）的周期為=4π，不為π，故A不選；

B．函數(shù)y=2sin（2x﹣）的周期為=π，且當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y取得最大值2，故圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，滿足條件，故B選；

C．函數(shù)y=2sin（2x+）的周期為=π，且當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y=1，沒有取得最值，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線x=對(duì)稱，故C不選；

D．函數(shù)y=2sin（﹣）的周期為=4π，不為π，故D不選，

故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的周期性以及求法，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．

3.

設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值

為

（A）0 （B）1 （C） （D）3

參考答案：

B

由，得。所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)此時(shí)，.

，故選B.

4. 已知集合，，則A∪B=（ ）

A. [0,+∞) B. [1,+∞) C. D.

參考答案：

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B

【分析】

一元不等式化簡(jiǎn)集合B，然后直接利用并集運(yùn)算得答案．

【詳解】=，則

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查并集其運(yùn)算，考查了不等式的解法，是基礎(chǔ)題．

5. 將直線沿軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為( )

A．－3或7 B．-2或8 C．0或10 D．1或11

參考答案：

6. 設(shè)定義在R上的偶函數(shù)滿足，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，．則方程

根的個(gè)數(shù)為

A．12 B．1 6 C．18 D．20

參考答案：

C

7. 下列命題中，真命題是

A.

B.

C.a+b=0的充要條件是=-1

D.a>1,b>1是ab>1的充分條件

參考答案：

D.

此類題目多選用篩選法，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)且8<9,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)而無意義，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選D.

8. 函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（ ）Ks5u

A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位

C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位

參考答案：

D

略

9. 已知點(diǎn)P在直線x+3y﹣2=0上，點(diǎn)Q在直線x+3y+6=0上，線段PQ的中點(diǎn)為M（x0，y0），且y0＜x0+2，則的取值范圍是（ ）

A．[﹣，0） B．（﹣，0） C．（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）

參考答案：

D

【考點(diǎn)】直線的斜率．

【專題】作圖題；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓．

【分析】由題意可得，線段PQ的中點(diǎn)為M（x0，y0）到兩直線的距離相等，利用，可得x0+3y0+2=0．

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11. 從某社區(qū)150戶高收入家庭，360戶中等收入家庭，90戶低收入家庭中，用分層抽樣法選出100戶調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，則三種家庭應(yīng)分別抽取的戶數(shù)依次為 。

又y0＜x0+2，設(shè)=kOM，分類討論：當(dāng)點(diǎn)位于線段AB（不包括端點(diǎn)）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)位于射線BM（不包括端參考答案：

25，60，15

點(diǎn)B）時(shí)，即可得出．

【解答】解：∵點(diǎn)P在直線x+3y﹣2=0上，點(diǎn)Q在直線x+3y+6=0上，線段PQ的中點(diǎn)為M（x0，y0），

∴，化為x0+3y0+2=0．

又y0＜x0+2，

設(shè)=kOM，

當(dāng)點(diǎn)位于線段AB（不包括端點(diǎn)）時(shí)，則kOM＞0，當(dāng)點(diǎn)位于射線BM（不包括端點(diǎn)B）時(shí)，kOM＜﹣．

∴的取值范圍是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、線性規(guī)劃的知識(shí)、斜率的意義及其應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、計(jì)算能力，屬于中檔題．

10. 命題“”的否定是

A.

B.

C.

D.

參考答案：

B

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，只有B正確. 故選B.

二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分

12. 設(shè)復(fù)數(shù)z =cosθ+isinθ, ω= -1+i, 則|z-ω|的最大值是 ．

參考答案：

13. 將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第

n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為

參考答案：

14. ．已知是第二象限角，且______.

參考答案：

略

15.

己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．則的值為 ．

參考答案：

1

略

16. 若函數(shù)，（a＞0且a≠1）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

參考答案：

（0，1）∪（1，4]

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值．

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∴拋物線的方程為（2）

【分析】函數(shù)，（a＞0且a≠1）的值域?yàn)镽，則其真數(shù)在實(shí)數(shù)集上恒為正，將這一關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式求解參數(shù)的范圍即可．

【解答】解：函數(shù)，（a＞0且a≠1）的值域?yàn)镽，其真數(shù)在實(shí)數(shù)集上恒為正，

即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1

故可求的最小值，令其小于等于4

∵

∴4，解得a≤4，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（1，4]

故應(yīng)填（0，1）∪（1，4]

17. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)m滿足，均有，且，則稱為上的m高調(diào)函數(shù)．如果定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且為R上的8高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

參考答案：

三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

18. 已知圓和拋物線，圓心到拋物線焦點(diǎn)的距離為.

（1）求拋物線的方程；

（2）不過原點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn)，且滿足.設(shè)點(diǎn)為圓上任意一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)的直線方程.

參考答案：

（1）可化為，則

,

，

當(dāng)時(shí)，即動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過圓心C(-1,1)時(shí)到動(dòng)直線的距離取得最大值.

19.

（12分） 已知函數(shù)的圖像都過點(diǎn)P（2，0），且在點(diǎn)P處

有相同的切線。

（I）求實(shí)數(shù)a、b、c的值；

（II）設(shè)函數(shù)上的最小值。

參考答案：

解析：（I）的圖像過P（2，0），

…………2分

…………4分

又

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…………6分

（II）,

同理，由…………8分

因此，當(dāng)；……10分

當(dāng) …………12分

20. （10分）（2013?長(zhǎng)春一模）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：A1O⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直線A1C與平面A1AB所成角的正弦值；

（Ⅲ）在BC1上是否存在一點(diǎn)E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)E的位置．

參考答案：

【考點(diǎn)】： 直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．

【專題】： 計(jì)算題；證明題．

【分析】： （1）由題意可知：平面AA1C1C⊥平面ABC，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可以得到，只要證明A1O⊥AC就行了．

（2）此小題由于直線A1C與平面A1AB所成角不易作出，再由第（1）問的結(jié)論可以聯(lián)想到借助于空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參數(shù)，轉(zhuǎn)化成法向量n與所成的角去解決

（3）有了第（2）問的空間直角坐標(biāo)系的建立，此題解決就方便多了，欲證OE∥平面A1AB，可以轉(zhuǎn)化成證明OE與法向量n垂直

解：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳1A=A1C，且O為AC的中點(diǎn)，

所以A1O⊥AC．（1分）

又由題意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，

交線為AC，且A1O?平面AA1C1C，

所以A1O⊥平面ABC．（4分）

（Ⅱ）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由題意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，

所以得：

則有：．（6分）

設(shè)平面AA1B的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），則有，

令y=1，得所以．（7分）

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．（9分）

因?yàn)橹本€A1C與平面A1AB所成角θ和向量n與所成銳角互余，所以．（10分）

（Ⅲ）設(shè)，（11分）

即，得

所以，得，（12分）

令OE∥平面A1AB，得，（13分）

即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，

即存在這樣的點(diǎn)E，E為BC1的中點(diǎn)．（14分）

【點(diǎn)評(píng)】： 本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成的角、三角函數(shù)等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力

21. （本小題滿分16分）

如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的對(duì)角線BD把折起，使A移到A1點(diǎn)，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上。

（I）求證：

（2）求證：平面平面

參考答案：

（I）略；（II）略.

試題分析：(1)由投影的定義可得，進(jìn)而可得，結(jié)合得出進(jìn)一步證明；（2）根據(jù)ABCD是矩形可得，由（1）可得從而可以證明平面平面

試題解析：證明：（I）由于A1在平面BCD上的射影O在CD上，

則

則…………4分

又

則

故…………8分

（II）因?yàn)锳BCD為矩形，所以

由（I）知

又

從而有平面平面…………16分

考點(diǎn)：空間幾何元素的位置關(guān)系.

22. （1 2分） 三棱錐P-A B C 中, 底面A B C 為邊長(zhǎng)為2的正三角形, 平

面P B C⊥平面A B C, P B=P C=2, D 為A P 上一點(diǎn), AD=2 D P, O 為

底面三角形中心。

（Ⅰ） 求證: B D⊥A C;

（Ⅱ） 設(shè) M 為P C 中點(diǎn), 求二面角 M-B D-O 的余弦值。

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參考答案：

7 / 7

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