2020-2021學年天津市寶坻一中等六校高二(下)期中數(shù)學試卷

2024年1月4日發(fā)(作者：生日手工禮物)

2020-2021學年天津市寶坻一中等六校高二（下）期中數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共9小題，共27.0分）

1.

已知??(??)=??′(1)+????????，則??(??)=( )

A.

1+??

3B.

e

C.

2+??

D.

3

32.

曲線??(??)=?√??3+2在??=1處的切線傾斜角是(

)

A.

6??

1B.

3??

1C.

6??

5D.

3??

??8423.

設(shè)????為正項等比數(shù)列{????}的前n項和，??5，3??3，??4成等差數(shù)列，則??的值為( )

A.

16

1B.

17

1C.

16

1D.

17

4.

在等比數(shù)列{????}中，??3，??7是函數(shù)??(??)=3??3+4??2+9???1的極值點，則??5=( )

A.

?4

B.

?3

C.

3

D.

4

225.

已知數(shù)列{????}是公差不為0的等差數(shù)列，且??12?4??12=??2010?4??2010，則數(shù)列{????}的前2021項和為( )

A.

20214

B.

20212

C.

2021

D.

4042

6.

若曲線??=????在??=0處的切線，也是??=??????+??的切線，則??=( )

A.

?1

B.

1

C.

2

D.

e

7.

已知函數(shù)??=??2?2??+3在閉區(qū)間[0,??]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是( )

A.

[1,+∞)

B.

[0,2]

1C.

[1,2]

D.

(?∞,2]

∈???都有????>????+1，則實數(shù)a的取值范圍是(

)．

8.

已知數(shù)列{????}滿足????=(???)??+2,??>8{3???7，若對于任意的????,??≤81A.

(0,3)

1B.

(0,2)

C.

(2,1)

1D.

(3,2)

??22119.

若函數(shù)??(??)=??????????+???????????，則滿足??(???2????(|??|+1))+??()≥0恒成立的實數(shù)a的取值范圍為( )

A.

[2????2?2,+∞)

B.

(????2?4,+∞)

二、單空題（本大題共6小題，共18.0分）

11C.

[4,+∞)

7D.

(2,+∞)

310.

函數(shù)??(??)=??2?2??????的單調(diào)減區(qū)間是______．

11.

等比數(shù)列{????}的各項均為正數(shù)，且??5??6+??4??7=18，則log3??1+log3??2+?+log3??10=______．

93??12.

設(shè)等差數(shù)列{????}，{????}的前n項和分別為????，????若對任意自然數(shù)n都有??=4???3，則??5+??7+??8+??4的值????2???3????為______．

第1頁，共18頁

13.

已知數(shù)列{????}，??1=1，????+????+1=???(?1)???(??+1)2，前n項和為????，則??21=______．

14.

若過點??(?1,??)可作曲線??(??)=???3+6??2的三條切線，則實數(shù)m的取值范圍為______

．

15.

已知定義在(?∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù)??(??)的導函數(shù)為??′(??)，對定義域內(nèi)的任意x，都有2??(??)+????′(??)<2成立，則使得??2??(??)?4??(2)

三、解答題（本大題共5小題，共60.0分）

16.

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯∠??????=2，????//????，形，平面????????⊥平面ABCD，且????=????=2????=2．

(Ⅰ)求證：????//平面PDC；

(Ⅱ)求二面角??????????的大小；

(Ⅲ)已知點H在棱PD上，且異面直線AH與PB所成角的余弦值為

17.

已知數(shù)列{????}的前n項和為????，且????+1=????+2(??∈???)，??3+??4=12，數(shù)列{????}為等比數(shù)列，且??1=??2，??2=??3．

(Ⅰ)求{????}和{????}的通項公式；

(Ⅱ)設(shè)????=(?1)???????????，求數(shù)列{????}的前n項和????．

7√3，求線段15??DH的長．

第2頁，共18頁

18.

設(shè)函數(shù)??(??)=?????????2+3，其中??∈??．

(Ⅰ)當??(??)為偶函數(shù)時，求函數(shù)?(??)=????(??)的極值；

(Ⅱ)若函數(shù)??(??)在區(qū)間[?2,4]上有兩個零點，求m的取值范圍．

219.

已知正項數(shù)列{????}的前n項和????滿足2????=????+?????2．

(1)求數(shù)列{????}的通項公式；

(2)若????=2??(???1)??????(??∈???)，求數(shù)列{????}的前n項和????．

(3)是否存在實數(shù)??使得????+2>???????對??∈??+恒成立，若存在，求實數(shù)??的取值范圍，若不存在說明理由．

20.

已知函數(shù)??(??)=2?????????2?????，??(??)=?????????+??2+3????+??，??∈??．

(1)當??=0時，求??(??)的極值；

(2)令?(??)=??(??)+??(??)，求函數(shù)?(??)的單調(diào)減區(qū)間；

??′((3)如果??1，??2是函數(shù)??(??)的兩個零點，??′(??)是??(??)的導函數(shù)，且??1

2??1+??231)>0．

第3頁，共18頁

第4頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了導數(shù)運算，解答此題的關(guān)鍵是理解原函數(shù)解析式中的??′(1)，在這里??′(1)只是一個常數(shù)，此題是基礎(chǔ)題．

把給出的函數(shù)求導得其導函數(shù)，在導函數(shù)解析式中取??=1可求??′(1)的值，再代值計算即可．

【解答】

解：由??(??)=??′(1)+????????，

得：??′(??)=1+??????，

取??=1得：??′(1)=1+????1=1，

故??(??)=??′(1)+????????=1+??，

故選A．

2.【答案】D

【解析】解：由題意可得：曲線的方程為：??=?√??3+2，

33所以??′=?√3??2，

所以??切=??′|??=1=?√3，

所以曲線??=?√??3+2在??=1處的切線的傾斜角是3??.

332故選：D．

根據(jù)題意求出函數(shù)的導數(shù)，進而求出切線的斜率，即可得到切線的傾斜角．

本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及求導公式．

3.【答案】D

【解析】解：正項等比數(shù)列{????}的公比設(shè)為q，??>0，??5，3??3，??4成等差數(shù)列，

可得6??3=??5+??4，即6??1??2=??1??4+??1??3，

化為??2+???6=0，解得??=2(?3舍去)，

第5頁，共18頁

則??=4??8??1(1???8)1?????1(1???4)1???=1???4=1+??4=1+16=17．

1???8故選：D．

設(shè)等比數(shù)列的公比為q，??>0，運用等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公比q，再由等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求值．

本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，等差數(shù)列的中項性質(zhì)，考查方程思想和化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】C

【解析】解：∵??(??)=3??3+4??2+9???1，??′(??)=??2+8??+9，

??3，??7是函數(shù)??(??)=3??3+4??2+9???1的極值點，

∴??3、??7是??2+8??+9=0的兩個實數(shù)根，

∴??3???7=9．

??5=√??3??7=3．

故選：C．

??′(??)=??2?8??+6，??1、??11是函數(shù)??(??)=3??3+4??2+9???1的極值點，可得??1、??11是??2?8??+6=0的兩個實數(shù)根，再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出．

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

1115.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查等差數(shù)列性質(zhì)以及前n項的和，屬于基礎(chǔ)題．

結(jié)合題設(shè)條件先求得??12+??2010=4，然后運用等差數(shù)列前n項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求的結(jié)果．

【解答】

22解：數(shù)列{????}是公差不為0的等差數(shù)列，且??12?4??12=??2010?4??2010，

∴(??12???2010)(??12+??2010)=4(??12???2010)，

又??12???2010≠0

第6頁，共18頁

∴??12+??2010=4，

故數(shù)列{????}的前2021項和為：

??2021=20212(??1+??2021)=20212(??12+??2010)=20212×4=4042．

所以選：D．

6.【答案】C

【解析】解：??=????的導數(shù)為??′=????，

曲線??=????在??=0處的切線斜率為??=1，

則曲線??=????在??=0處的切線方程為???1=??，

??=??????+??的導數(shù)為??′=??，

設(shè)切點為(??,??)，則??=1，

解得??=1，??=2，

即有2=????1+??，

解得??=2．

故選：C．

求出??=????的導數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再設(shè)與曲線??=??????+??相切的切點為(??,??)，求得函數(shù)??=??????+??的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得m，n，進而得到b的值．

本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，主要考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的導數(shù)，設(shè)出切點和正確求出導數(shù)是解題的關(guān)鍵．

117.【答案】C

【解析】解：作出函數(shù)??(??)的圖象，如圖所示，

當??=1時，y最小，最小值是2，當??=2時，??=3，

函數(shù)??(??)=??2?2??+3在閉區(qū)間[0,??]上上有最大值3，最小值2，

則實數(shù)m的取值范圍是[1,2]．

故選：C．

本題利用數(shù)形結(jié)合法解決，作出函數(shù)??(??)的圖象，如圖所示，當y最小，??=1時，??=3，最小值是2，當??=2時，欲使函數(shù)??(??)=??2?2??+3在閉區(qū)間[0,??]上的上有最大值3，最小值2，則實數(shù)m第7頁，共18頁

的取值范圍要大于等于1而小于等于2即可．

本題考查二次函數(shù)的值域問題，其中要特別注意它的對稱性及圖象的應用，屬于中檔題．

8.【答案】C

【解析】解：∵對于任意的??∈???都有????>????+1，

∴數(shù)列{????}單調(diào)遞減，可知0

①當38，????=(3???)??+2單調(diào)遞減，

而????=?????7(??≤8)單調(diào)遞減，

∴(3???)×9+22，

因此2

②當08，????=(3???)??+2單調(diào)遞增，應舍去．

綜上可知：實數(shù)a的取值范圍是2

故選：C．

由已知數(shù)列{????}單調(diào)遞減，從而0

本題考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．

.【答案】A

【解析】解：函數(shù)??(??)=??????????+???????????，

故函數(shù)??(??)的定義域是R，關(guān)于原點對稱，

且??(???)=??????????+sin(???)+??=?(??????????+???????????)=???(??)，

故函數(shù)??(??)是定義在R上的奇函數(shù)，

且滿足??(???2????(|??|+1))+??()≥0恒成立，

2故??(???2????(|??|+1))≥???()=??(?)，

22由????????∈[?1,1]，??′(??)=????+?????+?????????1≥2√??????????+?????????1=????????+1≥0(當且僅當??=0時“=”成立)，

??2??2??2第8頁，共18頁

故函數(shù)??(??)在R單調(diào)遞增，

由??(???2????(|??|+1))≥??(?)，故???2????(|??|+1)≥?，

22即??≥2????(|??|+1)???22??2??2，

??22令??(??)=2????(|??|+1)?欲使??≥2????(|??|+1)?，

??22恒成立，則??≥??(??)??????恒成立，

(???)22??(???)=2????(|???|+1)?=2????(|??|+1)???22=??(??)，

且函數(shù)??(??)的定義域是R，關(guān)于原點對稱，

故函數(shù)??(??)是定義在R上的偶函數(shù)，

故要求解??(??)在R上的最大值，只需要求解函數(shù)??(??)在[0,+∞)上的最大值即可，

當??∈[0,+∞)時，??(??)=2????(??+1)?故??′(??)=??+1???=?2(??+2)(???1)??+1??22，

，

故當??∈[0,1]時，???1≤0，則??′(??)≥0，??(??)在[0,1]上遞增，

當??∈(1,+∞)時，???1>0，則??′(??)<0，??(??)在(1,+∞)遞減，

故??(??)??????=??(1)=2????2?2，

故??≥2????2?2，故a的取值范圍是[2????2?2,+∞)，

故選：A．

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到??≥2????(|??|+1)???2111，令??(??)=2????(|??|+1)?2??22，問題轉(zhuǎn)化為??≥??(??)??????恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出??(??)的最大值，從而求出a的范圍即可．

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．

10.【答案】(0,1)

【解析】解：∵??(??)=??2?2??????(??>0)，

∴??′(??)=2?????=22??2?2??=2(??+1)(???1)??，

第9頁，共18頁

令??′(??)<0由圖得：0

∴函數(shù)??(??)=??2?2??????的單調(diào)減區(qū)間是(0,1)．

故答案為(0,1)．

依題意，可求得??′(??)=2(??+1)(???1)??，由??′(??)<0即可求得函數(shù)??(??)=??2?2??????的單調(diào)減區(qū)間．

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式的能力，屬于中檔題．

11.【答案】10

【解析】解：∵等比數(shù)列{????}的各項均為正數(shù)，且??5??6+??4??7=18，

∴??5??6+??4??7=2??5??6=18，∴??5??6=9，

∴l(xiāng)og3??1+log3??2+?+log3??10

=log3(??1×??2×??3×…×??10)

=log3[(??1??10)×(??2??9)×(??3??8)×(??4??7)×(??5??6)]

=??????3(??5??6)5

=5??????39

=10．

故答案為：10．

由已知得??5??6=9，從而log3??1+log3??2+?+log3??10=log3[(??1??10)×(??2??9)×(??3??8)×(??4??7)×(??5??6)]，由此能求出結(jié)果．

本題考查對數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意對數(shù)性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．

12.【答案】41

【解析】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得：

??9??3??9??3+=+

??5+??7??8+??4??1+??11??1+??1111(??1+??11)??3+??9??1+??112===

11(??1+??11)??1+??11??1+??112??112×11?319===

??114×11?341故答案為：41

1919第10頁，共18頁

11由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得原式=??，代值計算可得．

11??本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題．

13.【答案】11

【解析】解：數(shù)列{????}，??1=1，????+????+1=???(?1)?當??=1時，??1+??2=1?(?1)1=?1，

當??=3時，??3+??4=3?(?1)6=3，

當??=5時，??6+??5=5?(?1)15=?5，

當??=7時，??7+??8=7?(?1)28=7，

當??=9時，??9+??10=9?(?1)45=?9，

同理：??11+??12=11，

??13+??14=?13，

??15+??16=15，

??17+??18=?17，

??19+??20=19，

所以：??20=2+2+2+2+2=10，

利用數(shù)列的通項公式解得：??21=1，

所以：??21=11

故答案為：11

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列中各項的關(guān)系，進一步求出數(shù)列的和．

本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，分組法求數(shù)列的和的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．

??(??+1)2，

14.【答案】(?20,7)

【解析】解：設(shè)切點坐標(??,???3+6??2)，

因為??(??)=???3+6??2，所以??′(??)=?3??2+12??，

曲線??=??(??)在(??,???3+6??2)處的切線斜率為?3??2+12??，

又切線過點??(?1,??)，所以切線斜率為???3+6??2?????+1，

第11頁，共18頁

所以???3+6??2?????+1=?3??2+12??，

即2??3?3??2?12?????=0

①

因為過點??(?1,??)

可作曲線??=??(??)的三條切線，

所以方程①有3解．

令??(??)=2??3?3??2?12?????，

則??(??)圖象與x軸有3個交點，所以??(??)的極大值與極小值異號．

由??′(??)=6??2?6???12，令??′(??)=0，得??=2或?1，

所以??(2)??(?1)<0，

即(????20)(???+7)<0，

所以?20

故答案為：(?20,7)．

先設(shè)切點坐標，用導數(shù)求出切線斜率，再用兩點的斜率公式求出切線斜率，兩者相等，得到含m的方程，因為過點??(?1,??)

可作曲線??=??(??)的三條切線，即方程有3解，構(gòu)造函數(shù)求得導數(shù)和極值，令兩極值的乘積小于0，解不等式可得所求范圍．

本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)性、極值，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．

15.【答案】(?∞,?2)∪(2,+∞)

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和導函數(shù)的應用，屬于中檔題．

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)??(??)=??2??(??)???2，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)??(??)的單調(diào)性和奇偶性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

【解答】

解：由??(??)是偶函數(shù)，

∴當??>0時，由2??(??)+????′(??)<2，

得2??(??)+????′(??)?2<0，

設(shè)??(??)=??2??(??)???2，

則??′(??)=2????(??)+??2??′(??)?2??

=??(2??(??)+????′(??)?2)<0，

即當??>0時，函數(shù)??(??)為減函數(shù)，

第12頁，共18頁

由??2??(??)?4??(2)

得??2??(??)???2<4??(2)?4，

即??(??)

∵??(??)是偶函數(shù)，∴??(??)也是偶函數(shù)，

則??(??)

即|??|>2，得??>2或??

即x的取值范圍是(?∞,?2)∪(2,+∞)，

故答案為：(?∞,?2)∪(2,+∞)．

16.【答案】證明：(Ⅰ)∵四邊形ABCD是正方形，∴????//????，

∵四邊形ADPQ是梯形，????//????，????∩????=??，????∩????=??，

∴平面??????//平面DCP，

∵?????平面ABQ，∴????//平面PDC．

解：(Ⅱ)以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

則??(0,2，0)，??(0,0，2)，??(2,2，0)，??(2,0，1)，

????

=(0,2，?2)，?????

?????

????=(2,2，?2)，?????????=(2,0，?1)，

? =(??,y，??)， 設(shè)平面PBC的法向量??? ??????

??????=2??+2???2??=0? =(0,1，1)， 則{，取??=1，得???????

? ?????=2???2??=0????? =(??,y，??)， 設(shè)平面PBQ的法向量???????

=2??+2???2??=0??? ?????????? =(1,1，2)， 則{，取??=1，得????? ??????

??????=2?????=0設(shè)二面角??????????的大小為??，由圖形得??為鈍角，

則????????=?|??=??? |?|???? |∴??=5??6|????? ????? |3√2?√=?6√3，

2，

5??∴二面角??????????的大小為6．

(Ⅲ)點H在棱PD上，且異面直線AH與PB所成角的余弦值為7√3，

15?????

=(?2,0，??)，?????

設(shè)????=??，則??(0,0，??)，??(2,0，0)，?????????=(2,2，?2)，

|?????????|?????

,?????

∴|cos|=|????=??????

|?|??????????

|33?????? ??????

4+2??√4+??2?√12=7√3，

15解得??=2，∴線段DH的長為2．

第13頁，共18頁

【解析】(Ⅰ)推導出????//????，從而平面??????//平面DCP，由此能證明????//平面PDC．

DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，(Ⅱ)以D為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角??????????的大小．

(Ⅲ)設(shè)????=??，利用向量法能求出線段DH的長．

本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小、線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．

17.【答案】解：(Ⅰ)根據(jù)題意，數(shù)列{????}滿足????+1=????+2，

則數(shù)列{????}是公差為2的等差數(shù)列，可設(shè)公差為d，

又由??3+??4=12，則??3+??3+??=12，解可得??3=5，

則????=??3+(???3)??=2???1，

又由數(shù)列{????}為等比數(shù)列，且??1=3，??2=1+3+5=9，則數(shù)列{????}的公比為3，

則????=3??，

(Ⅱ)根據(jù)題意，由(Ⅰ)的結(jié)論，????=2???1，????=3??，

則????=(?1)?????????n

=(?1)??×(2???1)×3??=(2???1)(?3)??，

則????=1×(?3)+3×(?3)2+?…+(2???1)(?3)??，①

?3????=1×(?3)2+3×(?3)3+?…+(2???1)(?3)??+1，②

①?②可得：4????=?3+2[(?3)2+(?3)3+?…(?3)??]

?(2???1)×(?3)??+1=2?變形可得：????=8?

【解析】本題考查數(shù)列的遞推公式以及求和，關(guān)鍵是求出兩個數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．

(Ⅰ)根據(jù)題意，由????+1=????+2分析可得數(shù)列{????}是公差為2的等差數(shù)列，又由??3+??4=12可得??3+??3+??=12，解可得??3=5，由等差數(shù)列的通項公式可得{????}的通項公式，進而可得??1=3，??2=9，分析可得數(shù)列{????}的公比為3，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式計算可得答案；

(Ⅱ)根據(jù)題意，求出數(shù)列{????}的通項公式，由錯位相減法分析可得答案．

3839×(4???1)2×(?3)???1，

9×(4???1)×(?3)???1．

18.【答案】解：(Ⅰ)由函數(shù)??(??)是偶函數(shù)，得??(???)=??(??)，

即????????(???)2+3=?????????2+3對于任意實數(shù)x都成立，

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所以??=0．

此時?(??)=????(??)=???3+3??，則?′(??)=?3??2+3．

由?′(??)=0，解得??=±1，

當x變化時，?′(??)與?(??)的變化情況如下表所示：

x

?′(??)

?(??)

(?∞,?1)

?

↘

?1

0

極小值

(?1,1)

1

+

↗

0

極大值

(1,+∞)

?

↘

所以?(??)在(?∞,?1)，(1,+∞)上單調(diào)遞減，在(?1,1)上單調(diào)遞增，

所以?(??)有極小值?(?1)=?2，?(??)有極大值?(1)=2．

(Ⅱ)由??(??)=?????????2+3=0，得??=??2?3????．

??2?3????所以“??(??)在區(qū)間[?2,4]上有兩個零點”等價于“直線??=??與曲線??(??)=公共點”．

對函數(shù)??(??)求導，得??′(??)=???2+2??+3????，??∈[?2,4]有且只有兩個．

由??′(??)=0，解得??1=?1，??2=3．

當x變化時，??′(??)與??(??)的變化情況如下表所示：

x

??′(??)

??(??)

(?2,?1)

?

↘

?1

0

極小值

(?1,3)

3

+

↗

0

極大值

(3,4)

?

↘

所以??(??)在(?2,?1)，(3,4)上單調(diào)遞減，在(?1,3)上單調(diào)遞增．

又因為??(?2)=??2，??(?1)=?2??，??(3)=??3??(?1)，

所以當?2??

即當?2??

【解析】(Ⅰ)先求出m的值，再求函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；

(Ⅱ)由已知可得??=??2?3????，命題等價于“直線??=??與曲線??(??)=??2?3????，??∈[?2,4]有且只有兩個公共點”.對??(??)求導，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分類討論即可得解．

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，考查換元思想、分類討論思想，解題時仔細謹慎，第15頁，共18頁

屬于中檔題．

19.【答案】解：(1)當??=1時，??1=2．

22當??≥2時，2????=2(??????????1)=2[(????+?????2)?(?????1+?????1?2)]，

整理可得：(????+?????1)(??????????1?1)=0，

可得??????????1=1，

∴{????}是以??1=2為首項，??=1為公差的等差數(shù)列．

∴????=2+(???1)×1=??+1(??∈???)．

(2)由(Ⅰ)得????=??+1，

∴????=2??(???1)??(??+1)22=2??+1??+123?2????22．

2??+12??∴????=(2?2)+(3?)+?+(??+1?22??+1??+1)=??2??+1??+1?2．

(3)假設(shè)存在實數(shù)??，使得2??+2>????(??+3)2對一切正整數(shù)恒成立，

2??+2即??

令??(??)=??(??+1)(??+3)，

由數(shù)列的單調(diào)性可得，所以??(1)=1，??(2)=15，??(3)=9，??(4)=35>??(5)>??(6)>?

當??=3時有最小值??(3)=9．

所以??<9．

【解析】(1)直接利用遞推關(guān)系式的應用求出數(shù)列的通項公式．

(2)利用(1)的結(jié)論，進一步求出數(shù)列的通項公式．

(3)利用恒成立問題的應用和函數(shù)的單調(diào)性的應用求出參數(shù)的取值范圍．

本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，恒成立問題的應用，數(shù)列的求和的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．

4484162??+220.【答案】解：(1)??=0時：??(??)=2?????????2，故??′(??)=當00，??(??)遞增，

當??>1時：??′(??)<0，??(??)遞減，

∴??=1時：??(??)取極大值??(1)=?1；

2(1+??)(1???)??，(??>0)，

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(2)?′(??)=(2???1)(????+1)??2，令?′(??)=0，解得：??1=???，??2=2，

1111若??≥0，由?′(??)<0解得：0

若??<0，①??2，

∴?(??)在(0,???)，(2,+∞)遞減；

②??=?2時：總有?′(??)≤0，故?(??)在(0,+∞)遞減，

③?22，由?′(??)<0，解得：0???，

∴?(??)在(0,2)，(???,+∞)遞減，

綜上：??

??=?2時：?(??)在(0,+∞)遞減，

?2

??≥0時：?(??)的遞減區(qū)間是(0,2)；

(3)∵??1，??2(??1

22∴??(??1)=2??????1???1?????1=0，??(??2)=2??????2???2?????2=0，

222兩式相減可得：2???????(??2???1)???(??2???1)=0，

1111111??∴??=2??????2??1??2???12?(??2+??1)，

∵??′(??)=???2?????，

∴??′(2??1+??232)=62??1+??23?(2??1+??2)???，

32=???2???1(ln???1??2??2?3??1??2+2??1)?3(??1???2)，

13???32令??=??∈(1,4)，?(??)=?????????+2，

1??∴?′(??)=???19(??+2)2=??2?5??+4??(??+2)2=(???1)(???4)??(??+2)2<0，

∴?(??)在(1,4)上單調(diào)遞減，

∴?(??)

又???∴??′(

22???1<0，?(??1???2)>0，

3)>0．

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【解析】(1)將??=0代入，求出??(??)的導數(shù)，從而求出函數(shù)的極值；

(2)先求出?(??)的導數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的遞減區(qū)間；

(3)構(gòu)造函數(shù)?(??)=???????3???3??+2，求導數(shù)可得單調(diào)性和求值范圍，進而可得答案．

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性，涉及構(gòu)造函數(shù)的方法，屬中檔題．

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