波利亞“怎樣解題表”在解題中的應用——以一道圓錐曲線壓軸題為例

2024年3月27日發(作者：力爭上游打一成語)

波利亞“怎樣解題表”在解題中的應用——以一道圓錐曲線壓

軸題為例

摘要：數學解題教學，重在教會學生解題的方法，幫助學生養成良好的解題習

慣。本文通過波利亞的“怎樣解題表”的解題的四個步驟: 闡明問題、制定計劃、實

施計劃、回顧和反思，演繹解決一道圓錐曲線壓軸題的具體過程，并給出一些解

題教學建議。

關鍵詞：波利亞解題表；解題方法；圓錐曲線

《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出“讓學生在現實情境中體驗什么是數學”。初

中數學教學注重培養學生的問題解決能力。數學教育家波利亞指出：“中學數學教學的首要任

務是加強問題解決的訓練。”這種“解題”不同于“題海戰術”。他認為，問題解決應該作為培養

學生數學能力和教他們思考的一種手段，方法。[1]波利亞《怎樣解題》中為人們提供了一套

系統的解題途徑，這有利于人們掌握解題過程的一般規律，也有利于數學教師探索解題教學

的一般規律。筆者結合2015年課標全國卷（Ⅱ）的圓錐曲線壓軸題論述“怎樣解題表”在數學

解題教學中的應用。

一、問題的由來——2015年課標全國卷（Ⅱ）的圓錐曲線壓軸題

案例：已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個

交點A，B，線段AB的中點為M。

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

（2）若l過點(1/3m,m)，延長線段OM與C交與點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？

若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由。

二、尋覓依據——波利亞解題“解題四部曲”

本研究通過圓錐曲線問題來激發學生對數學問題解決的興趣，轉變學生對待數學解題的

態度，培養學生的解題思維。為了提高學生解決問題的能力，波利亞把解決數學問題的過程

分為四個階段：闡明問題、制定計劃、實施計劃、回顧和反思。[2]對每個階段要考慮的問題，

思維活動，具體要做什么，有什么建議，都進行了很詳細的敘述，多方面地考慮到了學生在

解題過程中會面臨的問題。

“弄清問題”是我們拿到一道題首先要考慮的問題，理解題目，找出未知量，分析已知條

件，找出已知條件與未知量之間的聯系，需要的話還可引進相關符號，讓學生充分理解題目

的含義。

“擬定計劃”就是進一步理解已知條件與未知量之間的聯系，盡可能找到以前解過并相似

的題目。引導學生獨自理清解題思路．要給出解決這道題的整體思路。

“實施計劃”就是根據前一階段擬定的方案來執行，并檢查每個步驟，將解題過程完整的

寫出來。

“回顧反思”是指解決完了一道題后，學生應該靜下心來回想此題的思路，檢查已經得到

的解答，并嘗試以不同的方法來推導這個結果，回想此題涉及的思想方法以及自己存在的問

題，。

三、解題策略——遵循波利亞“解題四部曲”

第一步，弄清我們需要解決的問題

（1）學生要求解的是什么？

要求解的是當四邊形OAPB為平行四邊形時l的斜率。

（2）學生已經知道什么？

已知條件有：橢圓方程; 點M為AB的中點; 直線過點(1/3m,m)；直線方程；

未知條件有：直線OM的斜率與直線l的斜率以及四邊形OAPB是否為平行四邊形。

第二步，擬定計劃

（1）思路一：本題主要考察圓錐曲線相關問題，解決此類問題的首要思路就是通過將直

線方程與橢圓方程聯立，得到一個關x的一元二次方程，再通過韋達定理即根與系數的關系

可以表示出AB的中點M的橫縱坐標，從而證明直線OM的斜率與l的斜率的乘積的關系。

（2）思路二：本題想驗證四邊形OAPB能否為平行四邊形，我們不妨假設四邊形OAPB

就是平行四邊形，那么就可以利用平行四邊形的性質即對角線互相平分即OP=2OM，再結合

第一問得到的結論和題中的已知條件就可以計算出直線l的斜率。本題也可以從向量角度，

運用平行四邊形法則求解。

第三步，實施計劃，寫出解題過程（此文省略）

第四步，回顧與反思

本題難度適中，主要考查橢圓的方程與幾何性質、直線與橢圓的位關系，但仍有很多同

學拿不到滿分，只是每個人都對它有心理陰影，而且對基礎知識的掌握也不夠牢靠，不能多

方面的看問題；解答圓錐曲線問題，最關鍵的是要有明確的思路，必須明白用什么定理、怎

么用。充分運用系統的觀念，由變量推測不變量之后，利用不變量來證明。[3]只要平時將基

礎知識掌握牢固并且有針對性的進行練習，考試時仔細分析已知條件和所求問題，慢慢推導，

將心態放平和，圓錐曲線拿到滿分不是不可能。

四、內心感悟-重質輕量

波利亞認為，解決問題的價值不在于答案本身。他覺得在于 “你如何想到這個解法的？”

是什么促使你思考和這樣做的呢？”也就是說，問題解決的過程是一個具體的思維過程，是一

個對知識和問題進行系列思考、分析和探索的過程。[4]因此，學習數學最重要的是學習思維

方法。只有很好地掌握了思維方法，才能做到迎刃而解，舉一反三。當學生面對大量的習題

時，他們可以有條不紊。自然地將新問題與他們所做的習題進行比較，找出異同，順暢地分

析解決問題的方法，從而解決問題。

參考文獻

[1]林燕群.波利亞“怎樣解題表”在解題中的應用——以一道初中九年級幾何綜合習題為例[J].教

育觀察,2018,7(18):24-26.

[2]牟世平.基于波利亞理論的高一學生解題能力的培養[D].河北師范大學,2018.

[3]張恒瑀.淺談高考數學壓軸題——圓錐曲線大題解題思路[J].科技經濟導刊,2017(34):147.

[4]李寒陽.波利亞解題表在一道立體幾何高考題中的應用[J].數學學習與研究,2018(12):132

作者簡介：崔玲玲（1996.12-），女，吉林梨樹人，民族：滿族，學歷：教育碩士，專業：

學科教學數學。