四年級

大數

一、億以內數的認識

1、計數單位：一（個）、十、百、千、萬……億都是計數單位。

2、數位：在用數字表示數的時候，這些計數單位要按照一定的順序排列起

來，它們所占的位置叫做數位。

3、數級：按照我國的計數習慣，從右邊起，每四個數位是一個數級。包括

個級、萬級、億級等。

4、十進制計數法：每相鄰兩個計數單位之間的進率都是十的計數方法叫十

進制計數法。

數級…億級萬級個級

數位…

千

億

位

百

億

位

十

億

位

億

位

千

萬

位

百

萬

位

十

萬

位

萬

位

千

位

百

位

十

位

個

位

計數單位…

千

億

百

億

十

億

億

千

萬

百

萬

十

萬

萬千百十

個

(

一

)

數位順序

（右數）

…

第第第第第第第第第第第第

12111

位位位位位位位位位位位位

計數單位和數位的區別與聯系

區別：數位是指寫數時，把數字并列排成橫列，一個數字占有一個位置，這些位置，都叫做數位。從右端算起，

第一位是“個位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“萬位”，等等。說

明計數單位和數位的概念是不同的。

聯系：關系非常密切：這是因為“個位”上的計數單位是“一（個），“十位”上的計數單位是“十”，“百位”

上的計數單位是“百”，“千位”上的計數單位是“千”，“萬位”上的計數單位是“萬”，等等。

二、含有兩級的數的讀法

1、先讀萬級，再讀個級。

2、萬級的數按照個級的數的讀法來讀，再在后面加上一個“萬”字。

3、每級末尾不管有幾個0，都不讀；其他數位上有一個0或連續幾個0，都

只讀一個0。

三、億以內數的寫法

1）先寫萬級，再寫個級。

2）哪個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫0。

四、比較兩個數的大小

1、位數不同的兩個數，位數高的數大。

2、位數相同的兩個數，從最高位比起，最高位上的數大的那個數就大，如

果最高位上的數相同，就比較下一個數位上的數。

五、億以上數的認識

1、億以上的數的讀法

1）先分級，再從最高位讀起。

2）讀完億級或萬級的數，要加“億”字或“萬”字。

3）還要注意什么位置上的0不讀，什么位置上的0要讀，讀幾個0。

2、億以上的數的寫法

1）先看這個數有幾級，再從最高位寫起。

2）哪個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫0。

3、1億有多大

要知道1億張紙摞起來有多高，可以測量100張紙的厚度，計算得到1億張

紙摞起來有1萬多米高，比珠穆朗瑪峰還高。

小數

一、小數的意義和性質

1、分母是10、100、1000……的分數可以用小數來表示。

2、小數是十進制分數的另一種表現形式。

3、小數的計數單位是十分之一、百分之一、千分之一……分別寫作0.1、0.01、

0.001……

4、每相鄰兩個計數單位間的進率是10。

5、小數的讀寫法：

讀法：整數部分按照整數讀法來讀，小數部分要順次讀出每一個數。

寫法：整數部分按照整數的寫法來寫，整數部分是0就寫0，小數部分依次

寫出每一個數。

6、小數的性質：小數的末尾添上“0”或去掉“0”，小數的大小不變。

注意：小數中間的“0”不能去掉，取近似數時有一些末尾的“0”不能去掉。

作用可以化簡小數等。

7、小數大小比較：先比較整數部分，整數部分相同比較十分位，十分位相同比

較百分位，……

8、小數點位置移動引起小數大小變化規律：

小數點向右：移動一位，小數就擴大到原數的10倍；

移動兩位，小數就擴大到原數的100倍；

移動三位，小數就擴大到原數的1000倍；

……

小數點向左：移動一位，小數就縮小10倍，（小數就縮小為原數的）；

移動兩位，小數就縮小100倍，（小數就縮小為原數的）；

移動三位，小數就縮小1000倍，（小數就縮小為原數的）；

……

9、名數的改寫：

長度單位：千米———米———分米———厘米

面積單位：平方千米———公頃———平方米——平方分米——平方厘米

質量單位：噸———千克———克

10、求小數的近似數（四舍五入）：（保留兩位小數與精確到百分位的提法）

保留整數，表示精確到個位，保留一位小數，表示精確到十分位，保留兩位小數，

表示精確到百分位，取近似數時，小數末尾的0不能去掉。

大數的改寫。先改寫，再求近似數。注意：帶上單位。

二、小數的加法和減法

1、計算法則：相同數位對齊（小數點對齊），按照整數計算方法進行計算，得數

的小數點要和橫線上的小數的小數點對齊。結果是小數的要依據小數的性質進行

化簡。

2、豎式計算以及驗算。注意橫式上要寫上答案，不要寫成驗算的結果。

3、整數的四則運算順序和運算定律在小數中同樣適用。（簡算）

計算

一、三位數乘兩位數

三位數乘兩位數的筆算方法

1、筆算方法：先用兩位數個位上的數去乘三位數，積的末位與兩位數的個

位對齊；再用兩位數十位上的數去乘三位數，積的末位與兩位數的十位對齊；最

后把兩次乘得的積加起來。

2、比較三位數乘兩位數與兩位數乘兩位數筆算方法的區別：

相同點：乘的順序相同，先用個位上的數去乘，再用十位上的數去乘，最后

把兩次乘得的積加起來。

不同點：三位數乘兩位數，用兩位數每一位上的數去乘三位數時，多乘了一

次百位上的數。

因數中間或末尾有0的計算方法

因數末尾有0計算：先把0前面的數相乘，乘完以后再看乘數末尾共有幾個

0，就在乘得的數的末尾填寫幾個0。

因數中間有0：乘數中間有0的乘法，用0乘這一步可以省略。但要注意用

乘數哪一位上的數乘，乘得的數的末位就要和那一位對齊。

一個因數不變，另一個因數乘幾或除以幾時（0除外），積也要乘幾（或除

以幾）。

二、除數是兩位數的除法

一、口算除法

探索口算方法：80÷20＝

方法一：20×4＝8080÷20＝4

方法二：8÷2＝480÷20＝4

方法三：80÷2＝4080÷20＝4

方法四：8個十除以2個十等于4，80÷20＝4。

二、筆算除法

1、被除數的前兩位比除數小，即被除數的前兩位不夠除，要看前三位。

2、除數是兩位數的除法，一般按照“四舍五入”法，把除數看作和它接近

的整十數來試商。

3、除數是兩位數的除法的計算方法

1）從被除數的高位除起先用除數試除被除數的前兩位數，如果它比除數小，

再試除前三位數。

2）除到被除數的哪一位，就在那一位上面寫商。

3）求出每一位商，余下的數必須比除數小。

4、除數是兩位數的除法與除數是一位數的除法有什么區別？

相同點：都是從被除數的高位除起，除到哪一位商就寫在哪一位的上面，

不同點是：除數是一位數時，先除被除數的前一位，除數是兩位數時先看被

前兩位。

5、商的變化規律

1）除數不變，被除數乘幾，商也乘幾。

2）被除數不變，被除數乘幾，商反而除以幾。

3）被除法和除數都乘一個相同的數，商不變。

4）被除法和除數都除以一個相同的數，商不變。

三、四則運算

1、運算順序：

①在沒有括號的算式里，如果只有加減法或只有乘除法，都要從左往右按順序（依

次）計算。

②在沒有括號的算式里，有加減法又有乘除法，要先算乘除法，后算加減法。

③算式里有括號時，要先算括號里面的。

2、加法、減法、乘法和除法統稱為四則運算。

3、有關0的運算：

①一個數加上0得原數。

②任何一個數乘0得0。

③0不能做除數。0除以一個非0的數等于0。

④0÷0得不到固定的商；5÷0得不到商。

關于“0”的運算

1、“0”不能做除數；字母表示：a÷0錯誤,0做除數沒有意義

2、一個數加上0還得原數；字母表示：a＋0=a

3、一個數減去0還得原數；字母表示：a－0=a

4、被減數等于減數，差是0；字母表示：a－a=0

5、一個數和0相乘，仍得0；字母表示：a×0=0

6、0除以任何非0的數，還得0；字母表示：0÷a（a≠0）=0

7、0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商，找不到一個數與0相乘得5。

四、運算定律

1、加法運算定律：

①加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變。

a＋b＝b＋a

②加法結合律：三個數相加，可以先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先

把后兩個數相加，再加上第一個數，和不變。

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

③加法的這兩個定律往往結合起來一起使用。

如：165＋93＋35＝93＋（165＋35）

2、連減的性質：一個數連續減去兩個數，等于這個數減去那兩個數的和；或交

換減數的位置。

a－b－c＝a－(b＋c)或a－b－c＝a－c－b

3、乘法運算定律：

①乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變。

a×b＝b×a

②乘法結合律：三個數相乘，可以先把前兩個數相乘，再乘以第三個數，也可以

先把后兩個數相乘，再乘以第一個數，積不變。

(a×b)×c＝a×(b×c)

乘法的這兩個定律往往結合起來一起使用。

如：125×78×8的簡算。

③乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，可以先把這兩個數分別與這兩個數相

乘，再把積相加。

(a＋b)×c＝a×c＋b×c

4、連除的性質：一個數連續除以兩個數，等于除以這兩個數的積；或交換除數

的位置。

a÷b÷c＝a÷(b×c)或a÷b÷c＝a÷c÷b

圖形

一、三角形

1、三角形的定義：由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連或重合），

叫三角形。

2、從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角

形的高，這條對邊叫做三角形的底。重點：三角形高的畫法。

3、三角形的特性：

①穩定性。如：自行車的三角架，電線桿上的三角架。

②任意兩邊之和大于第三邊。

4、三角形的分類：

①按角大小分：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形。

②按邊長短分：三邊不等的△，等腰△（等邊三角形或正三角形是特殊的等腰△）。

③等邊△的三邊相等，每個角是60°。（頂角、底角、腰、底的概念）

5、三角形的內角和是180°。有關度數的計算以及格式。

6、四邊形的內角和是360°。

7、圖形的拼組：

①兩個完全一樣的三角形一定能拼成一個平行四邊形。

②用兩個相同的直角三角形可以拼成一個平行四邊形、一個長方形、一個大

三角形。

③用兩個相同的等腰直角三角形，可以拼成一個平行四邊形、一個正方形、

一個大的等腰直角三角形。

二、平行四邊形和梯形

一、平行和垂直

1、兩條直線的關系：在紙上任意畫兩條直線，只有平行和相交兩種情況

2、平行線：在同一個平面內不相交的兩條直線叫做平行線。也可以說這兩條

直線互相平行。直線a與b互相平行，記作a∥b，讀作a平行于b。

3、可以用直尺和三角尺畫平行線（兩條直線都和第三條直線垂直，這兩條直

線垂直）。步驟：

第一步：用左手固定直尺，用右手將三角尺的一條直角邊緊貼著直尺，沿另一

條直角邊畫一條直線。

第二步：將三角尺緊貼著直尺移動位置，再畫出一條直線。這條直線與第一步

畫出的直線平行。

4、互相垂直：兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直

線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。

直線a與b互相垂直，記作a⊥b，讀作a垂直于b。

5、三角板畫互相垂直兩條直線

情況一：通過直線上的一點畫與這條直線垂直的直線。步驟：

第一步：把三角板的一條直角邊與直線重合。

第二步：沿著直線向右移動三角板，使直角頂點與直線上的點重合。

第三步：沿另一條直角邊畫一條直角邊畫一條直線。所畫直線就是原直線的垂線。

情況二：過直線外一點畫與這條直線垂直的直線。步驟：

第一步：把三角板的一條直角邊與直線重合。

第二步：沿著直線向右移動三角板，使另一條直角邊與直線外的點重合。

第三步：沿另一條直角邊通過直線外的點畫一條直線。所畫直線就是原直線的垂線。

6、點到直線的距離

從直線外一點到這條直線所線的垂直線段最短，它的長度叫做這點到直線的距離。

端點分別在兩條平行線上，且與平行線垂直的所有線段的長度都相等。

二、平行四邊形

1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形。

2、特點：對邊互相平行；對邊也相等。特性：容易變形。

3、高和底：從平行四邊形一條邊上的一點向對邊引一條垂線，這點和垂足

之間的線段叫做平行四邊形的高；垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。（平行四

邊形有2條高）

4、平行四邊形的四條邊確定了，它的形狀不能確定。

三、梯形

1、定義：只有一組對邊平行的四邊形，叫做梯形。

2、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫等腰梯形。

3、直角梯形：有一個角是直角的梯形叫直角梯形。

4、梯形各部分的名稱：上底、下底、腰、高。

三、角

一、線段、直線、射線

1、定義

線段：一根拉緊的線，繃緊的弦，都可以看作線段。線段有兩個端點；

直線：把線段向兩端無限延伸，就得到一條直線，直線沒有端點，是無限長

的；

射線：把線段向一端無限延伸，就得到一條射線，射線只有一個端點，也是

無限長的。

2、區別：

直線和射線都可以無限延伸，線段可以量出長度；

線段有兩個端點，直線沒有端點，射線只有一個端點。

二、角定義

從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。

這一點叫角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。角的符號:∠

三、角的度量

1、角的單位

將圓平均分成360份，將其中1份所對的角作為度量角的單位，它的大小就

是1度，記作1°。

2、量角器

量角器是把半圓分成180等份制成的。

量角器的中心和0°刻度線。

3、量角的步驟

把量角器的中心與角的頂點重合，0°刻度線與角的一條邊重合。角的另一

邊所對的量角器上的刻度，就是這個角的度數。

四、角的分類

1、角可以看作由一條射線繞著它的端點，從一個位置旋轉到另一個位置所

成的圖形。

2、直角、平角、周角

一條射線繞它的端點旋轉1/4周，形成的角叫做直角，1直角=90°；

一條射線繞它的端點旋轉半周，形成的角叫做平角，1平角=180°；

一條射線繞它的端點旋轉一周，形成的角叫做周角，1周角=360°。

3、銳角、鈍角

銳角：小于90°的角叫銳角。

鈍角：大于90°小于180°的角叫鈍角。

4、角的大小關系

銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角

五、畫角的步驟

1、畫一條射線；

2、使量角器的中心與射線的端點重合、0°刻度線與射線重合；

3、在量角器上找到要畫的角度數的刻度線，點一個點；

4、以畫出的射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線。

四、圖形的運動

1、把一個圖形沿著某一條直線對折，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，

我們就說這個圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的對稱軸。

2、軸對稱的性質：對應點到對稱軸的距離都相等。

3、對稱軸是一條直線，所以在畫對稱軸時，要畫到圖形外面，且要用虛線。

4、正方形的對角線所在的直線是它的對稱軸。軸對稱圖形可以有一條或幾

條對稱軸。

5、畫對稱軸時，先找到與相反方向距離對稱軸相同的對應點，最后連線。

6、長方形、正方形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形、線段、菱形都

是軸對稱圖形。長方形有2條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等腰梯形有1條對

稱軸，等腰三角形有一條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，線段有1條對稱軸，

菱形有2條對稱軸，圓有無數條對稱軸，半圓有一條，圓環有無數條，半圓環有

一條。

7、平行四邊形不是軸對稱圖形，沒有對稱軸。（長方形和正方形除外）

8、梯形不一定是軸對稱圖形。只有等腰梯形是軸對稱圖形。

9、古今中外，許多著名的建筑就是對稱的。比如：中國的趙州橋，印度泰

姬陵，英國塔橋，法國埃菲爾鐵塔。

10、平移先找圖形點，平移完點連起來，注意數點數要數十字。

11、平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置。

12、利用平移，可以求出不規則圖形的面積。

統計

一、統計表

1、定義：數據經整理后使之進一步表格化，便形成統計表。統計表是用原始數

據制成的一種表格。

2、作用：

1）用數量說明研究對象之間的相互關系。

2）用數量把研究對象之間的變化規律顯著地表示出來。

3）用數量把研究對象之間的差別顯著地表示出來。

3、內容：一般包括總標題、橫標題、縱標題、數字資料、單位、制表日期。

二、條形統計圖

1定義：條形統計圖是用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少畫成長

短不同的直條，然后把這些直條按一定的順序排列起來。從條形統計圖中很容易

看出各種數量的多少。條形統計圖一般簡稱條形圖，也叫長條圖或直條圖。

2、特點：對各個時期或時點的數據有直接對比的作用，對其數值大小，一目了

然。

3、作用：直觀反映變量的數量差異，便于比較數量差異，研究數量差異問題。

4.條形統計圖中間有間隔

5、制作

1）根據圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的線條，作為縱軸和橫軸

2）在水平射線(橫軸)上適當分配條形的位置，確定直條的寬度和間隔。

3）在縱軸上確定單位長度，并標出數量的標記和計量單位。

4）根據數據的大小，畫出長短不同的直條，并標上標題。

5）若條形太小可適當在條形內畫上顏色等區分。

三、平均數與條形統計圖

1、求平均數公式：

總數量=每份數相加平均數=總數量÷總份數

總數量=平均數×總份數總份數=總數量÷平均數

2、平均數和平均分不一樣，是兩個不同的概念。

3、比賽時，計算平均得分時，一般要去掉一個最高分和一個最低分。平均數

能較好的反映一組數據的總體情況，而不能代表其中某個個體的情況。

4、條形統計圖可以看出數量的多少。復式條形統計圖可以更清楚地看出兩組數

據不同的地方。

5、復式條形統計圖可分為：縱向復式條形統計圖和橫向復式條形統計圖，必須

要有圖例。單位長度需統一。

觀察物體

1、正確辨認從上面、前面、左面觀察到物體的形狀。

2、觀察物體有訣竅，先數看到幾個面，再看它的排列法，畫圖形時要注意，只

分上下畫數量。

3、從不同位置觀察同一個物體，所看到的圖形有可能一樣，也有可能不一樣。

4、從同一個位置觀察不同的物體，所看到的圖形有可能一樣，也有可能不一樣。

5、從不同的位置觀察，才能更全面地認識一個物體。

數學廣角——雞兔同籠

1、雞兔同籠屬于假設問題，假設的和最后結果相反。

2、“雞兔同籠”問題的解題方法

假設法：

①假如都是兔

②假如都是雞

③古人“抬腳法”：

解答思路：

假如每只雞、每只兔各抬起一半的腳，則每只雞就變成了“獨腳雞”，每只兔

就變成了“雙腳兔”。這樣，雞和兔的腳的總數就少了一半。這種思維方法叫化歸

法。

3、公式：

雞兔總腳數÷2－雞兔總數=兔的只數；

雞兔總數－兔的只數=雞的只數。