排列組合問(wèn)題的解題策略
關(guān)鍵詞： 排列組合,解題策略
一、相臨問(wèn)題——捆綁法
例1．7名學(xué)生站成一排,甲、乙必須站在一起有多少不同排法
解：兩個(gè)元素排在一起的問(wèn)題可用“捆綁”法解決,先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列,并考慮甲乙二人的順序,所以共有 種;
評(píng)注：一般地: 個(gè)人站成一排,其中某 個(gè)人相鄰,可用“捆綁”法解決,共有 種排法;
二、不相臨問(wèn)題——選空插入法
例2． 7名學(xué)生站成一排,甲乙互不相鄰有多少不同排法
解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法,所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為： 種 .
評(píng)注：若 個(gè)人站成一排,其中 個(gè)人不相鄰,可用“插空”法解決,共有 種排法;
三、復(fù)雜問(wèn)題——總體排除法
在直接法考慮比較難,或分類不清或多種時(shí),可考慮用“排除法”,解決幾何問(wèn)題必須注意幾何圖形本身對(duì)其構(gòu)成元素的限制;
例3.1996年全國(guó)高考題正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn),以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個(gè).
解：從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有 種,但其中正六邊形的對(duì)角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線不能組成三角形,有3條,所以滿足條件的三角形共有 －3＝32個(gè).
四、特殊元素——優(yōu)先考慮法
對(duì)于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題,可以考慮優(yōu)先安排特殊位置,然后再考慮其他位置的安排;
例4． 1995年上海高考題 1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念,若老師不排在兩端,
則共有不同的排法 種．
解：先考慮特殊元素老師的排法,因老師不排在兩端,故可在中間三個(gè)位置上任選一個(gè)位置,有 種,而其余學(xué)生的排法有 種,所以共有 ＝72種不同的排法.
例5．2000年全國(guó)高考題乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員,派5名隊(duì)員參加比賽,3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置,其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置,那么不同的出場(chǎng)安排共有 種.
解：由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力隊(duì)員,有 種排法,而其余7名隊(duì)員選出2名安排在第二、四位置,有 種排法,所以不同的出場(chǎng)安排共有 ＝252種.
五、多元問(wèn)題——分類討論法
對(duì)于元素多,選取情況多,可按要求進(jìn)行分類討論,最后總計(jì);
例6．2003年北京春招某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為A
A．42 B．30 C．20 D．12
解：增加的兩個(gè)新節(jié)目,可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有A62種；2.相臨：共有A22A61種;故不同插法的種數(shù)為：A62 +A22A61=42 ,故選A;
例7．2003年全國(guó)高考試題如圖, 一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有多少種以數(shù)字作答
解：區(qū)域1與其他四個(gè)區(qū)域相鄰,而其他每個(gè)區(qū)域都與三個(gè)區(qū)域相鄰,因此,可以涂三種或四種顏色． 用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有 =48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72.
六、混合問(wèn)題——先選后排法
對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題,可采取先選取元素,后進(jìn)行排列的策略．
例8．2002年北京高考12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查,若每個(gè)路口4人,則不同的分配方案共有
A． 種 B． 種
C． 種 D． 種
解：本試題屬于均分組問(wèn)題; 則12名同學(xué)均分成3組共有 種方法,分配到三個(gè)不同的路口的不同的分配方案共有： 種,故選A;
例9．2003年北京高考試題從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法共有
A．24種 B．18種 C．12種 D．6種
解:先選后排,分步實(shí)施. 由題意,不同的選法有: C32種,不同的排法有: A31·A22,故不同的種植方法共有A31·C32·A22=12,故應(yīng)選C.
七．相同元素分配——檔板分隔法
例10．把10本相同的書發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室,每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù),試求不同分法的種數(shù);請(qǐng)用盡可能多的方法求解,并思考這些方法是否適合
更一般的情況
本題考查組合問(wèn)題;
解：先讓2、3號(hào)閱覽室依次分得1本書、2本書；再對(duì)余下的7本書進(jìn)行分配,保證每個(gè)閱覽室至少得一本書,這相當(dāng)于在7本相同書之間的6個(gè)“空檔”內(nèi)插入兩個(gè)相同“I”一般可視為“隔板”共有 種插法,即有15種分法;
總之,排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清,加乘明確；有序排列,無(wú)序組合；分類為加,分步為乘;
具體說(shuō),解排列組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑：
1以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素;
2以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置;
3先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不合要求的排列組合數(shù);
排列組合問(wèn)題的解題方略
湖北省安陸市第二高級(jí)中學(xué) 張征洪
排列組合知識(shí),廣泛應(yīng)用于實(shí)際,掌握好排列組合知識(shí),能幫助我們?cè)谏a(chǎn)生活中,解決許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題;同時(shí)排列組合問(wèn)題歷來(lái)就是一個(gè)老大難的問(wèn)題;因此有必要對(duì)排列組合問(wèn)題的解題規(guī)律和解題方法作一點(diǎn)歸納和總結(jié),以期充分掌握排列組合知識(shí);
首先,談?wù)勁帕薪M合綜合問(wèn)題的一般解題規(guī)律:
1使用“分類計(jì)數(shù)原理”還是“分步計(jì)數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時(shí)采取的方式而定,可以分類來(lái)完成這件事時(shí)用“分類計(jì)數(shù)原理”,需要分步來(lái)完成這件事時(shí)就用“分步計(jì)數(shù)原理”；那么,怎樣確定是分類,還是分步驟“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給的事件,而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件,所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾,相互獨(dú)立,彼此間交集為空集,并集為全集,不論哪類辦法都能將事情單獨(dú)完成,分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可,需要依次完成所有步驟才能完成這件事,步與步之間互不影響,即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法;
