高考數(shù)學輕松搞定排列組合難題二十一種方法
排列組合問題聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題，首先要認真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當?shù)姆椒▉硖幚怼?/span>
教學目標
1.進一步理解和應用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理。
2.掌握解決排列組合問題的常用策略;能運用解題策略解決簡單的綜合應用題。提高學生解決問題分析問題的能力
3.學會應用數(shù)學思想和方法解決排列組合問題.
復習鞏固
1.分類計數(shù)原理(加法原理)
完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：
種不同的方法．
2.分步計數(shù)原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：
種不同的方法．
3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別
分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。
分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件．
解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:
1.認真審題弄清要做什么事
2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。
3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個元素.
4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略
一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).
解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置. 先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步計數(shù)原理得
位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件
練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？
二.相鄰元素捆綁策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法
要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.
練習題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20
三.不相鄰問題插空策略
例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？
解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種
元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端
練習題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30
四.定序問題倍縮空位插入策略
例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：
(空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。
思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法
練習題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？
五.重排問題求冪策略
例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數(shù)原理共有種不同的排法
允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種
練習題：
1．某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42
2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法
六.環(huán)排問題線排策略
例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！
一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有
練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120
七.多排問題直排策略
例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有種,再排后4個位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個位置上任意排列有種,則共有種
一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.
練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346
八.排列組合混合問題先選后排策略
例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.
解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有種方法.再把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有
解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?
練習題：一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有 192 種
九.小集團問題先整體后局部策略
例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？
解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有種排法，再排小集團內(nèi)部共有種排法，由分步計數(shù)原理共有種排法.
小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。
練習題：
１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有種
十.元素相同問題隔板策略
例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？
解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法。
將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為
練習題：
1．10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？
2 .求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)
十一.正難則反總體淘汰策略
例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的
取法有多少種？
解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有,只含有1個偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有
有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.
練習題：我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的
抽法有多少種?
十二.平均分組問題除法策略
例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。
