《數(shù)學(xué)史》朱家生版+課后題目參考答案+第四章

11數(shù)本(1)班 郭奇 2011041047

1.作為世界四大文明古國之一,中國在公元前3000年至公元前1500

年間有哪些數(shù)學(xué)成就?試講這些成就和其他文明古國做一比較.

據(jù)《易．系辭》記載：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契”。

在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字。從一到十，及百、千、

萬是專用的記數(shù)文字，共有13個獨立符號，記數(shù)用合文書寫，其中

有十進位制的記數(shù)法，出現(xiàn)最大的數(shù)字為三萬。

算籌是中國古代的計算工具，而這種計算方法稱為籌算。算籌的

產(chǎn)生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。

用算籌記數(shù)，有縱、橫兩種方式：表示一個多位數(shù)字時，采用十

進位值制，各位值的數(shù)目從左到右排列，縱橫相間(法則是：一縱十

橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當)，并以空位表示零。算籌

為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。

籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數(shù)學(xué)

就是在籌算的基礎(chǔ)上取得其輝煌成就的。在幾何學(xué)方面《史記．夏本

記》中說夏禹治水時已使用了規(guī)、矩、準、繩等作圖和測量工具，并

早已發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”這個勾股定理(西方稱畢氏定理)的特例。

戰(zhàn)國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業(yè)技術(shù)的規(guī)范，包

含了一些測量的內(nèi)容，并涉及到一些幾何知識，例如角的概念。戰(zhàn)國

時期的百家爭鳴也促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)

學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定

義和命題，例如：“圓，一中同長也”、“平，同高也”等等。墨家還

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給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學(xué)說和桓團、

公孫龍等辯者提出的論題，強調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想，例如“至大無外謂

之大一，至小無內(nèi)謂之小一”、“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等。

這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數(shù)學(xué)命題是相當可貴的數(shù)

學(xué)思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼

承和發(fā)展。

十進制是一種便捷的計數(shù)方法，而籌算是一種有效的工具，

兩者均是中國對

世界的重大貢獻。在同時代的各古代文明中，只有中國提出了十

進制。當古希臘偉大學(xué)者阿基米德費盡心機地陳述如何用字母系統(tǒng)表

示大數(shù)時，中國人已“持籌而算”這些大數(shù)，甚至“善計者不用籌策

了”。沒有看似平常的十進制，便很難順利表述較大的數(shù)字。世界上

目前仍有一些處于原始發(fā)展階段的部族，對于十以上的數(shù)字只能統(tǒng)稱

為“多”，恐怕與沒有適當?shù)倪M位方法有關(guān)。用算籌記數(shù)，有縱、橫

兩種方式：表示一個多位數(shù)字時，采用十進位值制，各位值的數(shù)目從

左到右排列，縱橫相間(法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，

萬、百相當)，并以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立

起良好的條件。籌算直到十 五世紀元朝年才逐漸為珠算所取代，中

國古代數(shù)學(xué)就是在籌算的基礎(chǔ)上取得其輝煌成就的。

2、中國古代的數(shù)學(xué)教育可以稱得上是世界上最早的，在《周禮》中

關(guān)于數(shù)學(xué)教育的論述有哪些？它們都分別闡述了有關(guān)數(shù)學(xué)教育的那

些觀點？

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答：我國的甲骨文中早就有了關(guān)于教育的記載。而記載周代教

育制度的古老典籍《周禮.地官》中保氏一節(jié)稱：“保氏掌諫王惡，而

養(yǎng)國子以道，乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五

御，五曰六書，六曰九數(shù)。”其中禮、樂、射、御為大藝，書、數(shù)為

小藝。 （藝：才能、技能）前者為大學(xué)所授，后者乃小學(xué)所習(xí)。并

稱：“六年教之數(shù)，十年學(xué)書計。”可見，早在周代，國家就已把數(shù)學(xué)

列為貴族子弟的必修課藝之一，從六歲或十歲就教數(shù)數(shù)及計算了。對

數(shù)學(xué)教學(xué)如此重視，且以典制的形式規(guī)定下來，這在世界歷史上是罕

見的。

3.在春秋戰(zhàn)國時期產(chǎn)生了哪些重要的,可與古希臘相媲美的數(shù)學(xué)思想?

試將他們做一比較.

春秋戰(zhàn)國時代,中國正經(jīng)歷著由奴隸社會到封建社會的巨大變革,學(xué)

術(shù)思想十分活躍．這一時期形成的諸子百家,對科學(xué)文化影響極大．數(shù)

學(xué)園地更是生機盎然,朝氣勃勃．值得注意的是,人們在商代甲骨文和

西周金文的基礎(chǔ)上,逐漸懂得把字寫在竹片(或木片)上,用繩子穿成

冊,這就是早期的書．寫上字的竹片稱為簡,或竹簡．春秋戰(zhàn)國的大批

數(shù)學(xué)成果,便是通過竹簡流傳下來的．

（1）幾何與邏輯

《墨經(jīng)》中討論的幾何概念可以看作數(shù)學(xué)理論研究在中國的最初

嘗試．《墨經(jīng)》是以墨翟(約公元前490---前405)為首的墨家學(xué)派的

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著作,包括光學(xué)、力學(xué)、邏輯學(xué)、幾何學(xué)等各方面問題．它試圖把形

式邏輯用于幾何研究,這是該書的顯著特色．在這一點上,它同歐幾里

得(Euclid,約公元前330—前275)《幾何原本》相似,一些幾何定義

也與《原本》中的定義等價．

《墨經(jīng)》中依次給出點、線、面等基本幾何圖形的定義,這些圖

形的名稱分別為端、尺、區(qū)．在研究線的過程中,墨家明確給出“有

窮”及“無窮”的定義：“或不容尺,有窮；莫不容尺,無窮也．”即：

用線段去量一個區(qū)域,若能達到距邊緣不足一線的程度,叫有窮；若永

遠達不到這種程度,叫無窮．

（2）算術(shù)

到公元前四、五世紀時,分數(shù)已在中國廣泛應(yīng)用了,有些分數(shù)還有

特殊名稱,如叫半,叫少半,叫大半.位值制和整數(shù)四則運算已被熟練

掌握,《考工記》中還有簡單的分數(shù)運算,例如 （原書中用漢字表示）.

春秋戰(zhàn)國時代,“九九歌”已是家喻戶曉的常識了．《管子》等書

中便記載著九九歌訣,順序與今不同,是從“九九八十一”起,到“一

一如一”止．至于改為“一一如一”到“九九八十一”的順序,則是

宋元時代的事情了．

（3）對數(shù)學(xué)中“無限”的認識

有限與無限的矛盾,是數(shù)學(xué)中的一對基本矛盾．對這一問題認識

的不斷深化,推動著古今數(shù)學(xué)的發(fā)展．戰(zhàn)國時成書的《莊子》記載,

惠施曾提出“至大無外,謂之大一；至小無內(nèi),謂之小一”的觀點．其

中“大一”、“小一”可理解為無窮大,無窮小．這段話的意思是：大

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到?jīng)]有外部,稱為無窮大；小到?jīng)]有內(nèi)部,稱為無窮小．書中“一尺之

棰,日取其半,萬世不竭”的著名命題,可以看作是對“小一”的發(fā)揮．一

尺長的木棒,第一天取它的一半,第二天取剩下那一半的一半,如此不

斷地取下去,永遠也取不完.即第一天取,第二天取,第n天取,不管n

多大,總不為0,其中體現(xiàn)了物質(zhì)無限可分的思想.

（4）組合數(shù)學(xué)的萌芽

組合數(shù)學(xué)雖是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分支,它的思想?yún)s可以追溯到遙遠的古

代．春秋時期成書的《易經(jīng)》便含有組合數(shù)學(xué)的萌芽．

《易經(jīng)》是中國最古老的書籍之一,書中通過陰陽卦爻預(yù)言吉

兇．“--”是陽爻,“--”是陰爻,合稱“兩儀”．每次取兩個,按不同

順序排列,生成“四象”；每次取三個,生成八卦(圖4．5)；每次取六

個,則生成六十四卦．四象、人卦與六十四卦的排列,相當于組合數(shù)學(xué)

中的有重排列：從n種元素中每次取r個,共有nr種排列法．例如,

在兩種卦爻中每次取3個,共有23＝8種排列,這就是八卦．

（5）早期的數(shù)學(xué)工具---算籌與規(guī)、矩

算籌即用于計算的小竹棍(也有木質(zhì)、骨質(zhì)或金屬材料的算籌),

它是中國人創(chuàng)造的計算工具．春秋戰(zhàn)國時代,算籌的使用已相當普遍,

書中多有記載,如“孟子持籌而算之”(《十發(fā)》),“善計者不用籌策”

(《老子》),等等．1954年在長沙的一座戰(zhàn)國楚墓中挖出一個竹筒,

內(nèi)裝竹棍40根,長短一致,約12厘米,是為算籌之實物．

4、《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容是什么?其具有世界意義的數(shù)學(xué)成就又

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有哪些？

答：全書內(nèi)容豐富，且密切聯(lián)系實際，《九章算術(shù)》全書共有

246個應(yīng)用題，基本上都是與生產(chǎn)實踐、日常生活有聯(lián)系的實際應(yīng)用

問題。這些問題分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、

盈不足、方程和勾股九章。

《九章算術(shù)》注重實際問題和長于計算的特點，對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)

的發(fā)展有著極其深刻的影響。可以說，與西方數(shù)學(xué)的演繹推理相映生

輝的具有中國特色的算法體系的形成即始于《九章算術(shù)》。《九章算術(shù)》

成書以后，便成為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的經(jīng)典，特別是唐代以來，經(jīng)官方認

定該書成為“算經(jīng)十書”中最重要的一部，成為后來的數(shù)學(xué)家們學(xué)習(xí)、

研究和著述的依據(jù)。

5.試闡述劉徽的主要數(shù)學(xué)成就.

劉徽的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國最寶貴的數(shù)

學(xué)遺產(chǎn)。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是中

國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人．

《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法。在許

多方面：如解聯(lián)立方程，分數(shù)四則運算，正負數(shù)運算，幾何圖形的體

積面積計算等，都屬于世界先進之列。

但因解法比較原始，缺乏必要的證明，劉徽則對此均作了補充證

明。在這些證明中，顯示了他在眾多方面的創(chuàng)造性貢獻。他是世界上

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最早提出十進小數(shù)概念的人，并用十進小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根。

在代數(shù)方面，他正確地提出了正負數(shù)的概念及其加減運算的法則，改

進了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了"割圓術(shù)"，即將圓周用

內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法。他利用割

圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.1416的結(jié)果。他用割圓術(shù)，從直徑為

2尺的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，

割得越細，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之

彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失

矣。”他計算了3072邊形面積并驗證了這個值。劉徽提出的計算圓周

率的科學(xué)方法，奠定了此后千余年來中國圓周率計算在世界上的領(lǐng)先

地位。

劉徽在數(shù)學(xué)上的貢獻極多，在開方不盡的問題中提出“求徽數(shù)”

的思想，這方法與后來求無理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周

率精確計算的必要條件，而且促進了十進小數(shù)的產(chǎn)生；在線性方程組

解法中，他創(chuàng)造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一

致；并在中國數(shù)學(xué)史上第一次提出了“不定方程問題”；他還建立了

等差級數(shù)前n項和公式；提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念：如冪（面積）；

方程（線性方程組）；正負數(shù)等等．劉徽還提出了許多公認正確的判

斷作為證明的前提．他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴謹，

從而把《九章算術(shù)》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎(chǔ)

之上。雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注《九章算術(shù)》所運

用的數(shù)學(xué)知識，實際上已經(jīng)形成了一個獨具特色、包括概念和判斷、

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并以數(shù)學(xué)證明為其聯(lián)系紐帶的理論體系。

劉徽在割圓術(shù)中提出的"割之彌細，所失彌少，割之又割以至于

不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳

作。《海島算經(jīng)》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目

的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目。劉徽思想

敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是我國最早明確主張用

邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人。

6、球體積的計算常常被用來衡量各個國家和地區(qū)數(shù)學(xué)發(fā)展水平

的一把尺子，中國數(shù)學(xué)家在這方面的成就是非常杰出的。試闡述從《九

章算術(shù)》到劉徽、祖氏父子在這方面的工作與成就。

答：《九章算術(shù)》第五章“商功”主要論述了各種立體圖形的體

積算法，其中包括柱、錐、臺、球體等。劉徽一生不僅成就卓著，而

且品格高尚。在學(xué)術(shù)研究中，他既不迷信古人，也不自命不凡，而是

堅持實事求是，以理服人。

為了說明少廣章的“開立圓術(shù)”劉徽又引入一種新的立體：以

正方體相鄰的兩個側(cè)面為底分別作兩次內(nèi)切圓柱切割，剔除外部，剩

下的內(nèi)核部分劉徽稱之為“牟合方蓋”。他用截面法證明內(nèi)切球與“牟

合方蓋”的體積之比為，而明顯可以看出“牟合方蓋”的體積要比

圓柱要小。顯然，如果能求出牟合方蓋的體積，球的體積就自然可以

求出了，劉徽對于牟合方蓋的體積如何求處，百思不得其解，故最后

不得不“付之缺疑，以俟能言者”。由此我們可以看出劉徽學(xué)術(shù)研究

中的嚴謹與謙遜的態(tài)度，也許正是這二者的結(jié)合，使得劉徽在數(shù)學(xué)研

?

4

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究方面作出了舉世矚目的成就，給后人留下豐富的文化財富。

7.宋元時期最杰出的數(shù)學(xué)家有哪些？試闡述他們的代表作和主要數(shù)

學(xué)成就。

中國古代數(shù)學(xué)在宋元時期達到繁榮的頂點,涌現(xiàn)了一大批卓有成

就的數(shù)學(xué)家.其中秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰成就最為突出,被譽為

“宋元數(shù)學(xué)四大家”.

秦九韶（公元1202－1261）,字道古,安岳人.其父秦季棲,進士

出身,官至上部郎中、秘書少監(jiān).秦九韶聰敏勤學(xué).宋紹定四年（1231）,

秦九韶考中進士,先后擔(dān)任縣尉、通判、參議官、州守、同農(nóng)、寺丞

等職.先后在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官,1261年左右被貶至

梅州（今廣東梅縣）,不久死于任所.他在政務(wù)之余,對數(shù)學(xué)進行虔心

鉆研,并廣泛搜集歷學(xué)、數(shù)學(xué)、星象、音律、營造等資料,進行分析、

研究.宋淳祜四至七年（1244至1247）,他在為母親守孝時,把長期積

累的數(shù)學(xué)知識和研究所得加以編輯,寫成了聞名的巨著《數(shù)學(xué)九章》,

并創(chuàng)造了“大衍求一術(shù)”.這 不僅在當時處于世界領(lǐng)先地位,在近代

數(shù)學(xué)和現(xiàn)代電子計算設(shè)計中,也起到了重要作用,被稱為“中國剩余定

理”.他所論的“正負開方術(shù)”,被稱為“秦九韶程序”.現(xiàn)在,世界各

國從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)課程,幾乎都接觸到他的定理、定律和

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解題原則.秦九韶在數(shù)學(xué)方面的研究成果,比英國數(shù)學(xué)家取得的成果

要早800多年.

李冶(1192-1279)是中國古代數(shù)學(xué)家,字仁卿,號敬齋,真定府欒

城縣(今河北省欒城縣)人.1234年初,金朝終于為蒙古所滅．金朝的

滅亡給李冶生活帶來不幸,但由于他不再為官,這在客觀上使他的科

學(xué)研究有了充分的時間．他在桐川的研究工作是多方面的,包括數(shù)學(xué)、

文學(xué)、歷史、天文、哲學(xué)、醫(yī)學(xué)．其中最有價值的工作是對天元術(shù)進

行了全面總結(jié),寫成數(shù)學(xué)史上的不朽名著----《測圓海鏡》.

楊輝,中國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家.在13世紀中葉

活動于蘇杭一帶,其著作甚多.他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷.著有

《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、

《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷（1275

年）、《續(xù)古摘奇算法》二卷（1275年）.楊輝的數(shù)學(xué)研究與教育工作

的重點是在計算技術(shù)方面,他對籌算乘除捷算法進行總結(jié)和發(fā)展,有

的還編成了歌決,如九歸口決.他在《續(xù)古摘奇算法》中介紹了各種形

式的"縱橫圖"及有關(guān)的構(gòu)造方法,同時"垛積術(shù)"是楊輝繼沈括"隙積

術(shù)"后,關(guān)于高階等差級數(shù)的研究.楊輝在"纂類"中,將《九章算術(shù)》246

個題目按解題方法由淺入深的順序,重新分為乘除、分率、合率、互

換、二衰分,勾股等九類.他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和發(fā)展,在《算

法通變本末》中,楊輝為初學(xué)者制訂的"習(xí)算綱目"是中國數(shù)學(xué)教育史

上的重要文獻.

朱世杰（1300前后）,字漢卿,號松庭,寓居燕山（今北京附近）,

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“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”,“踵門而學(xué)者云集”.朱世杰數(shù)學(xué)

代表作有《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）.《算學(xué)啟蒙》

是一部通俗數(shù)學(xué)名著,曾流傳海外,影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展.《四

元玉鑒》則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個標志,其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)

作有“四元術(shù)”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（高階等

差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）.中國元代數(shù)學(xué)家,對多元

高次方程組解法、高階等差級數(shù)求和,高次內(nèi)插法都有深入研究,他著

有《算學(xué)啟蒙》(1299年)、《四元玉鑒》(1303年)各3卷,在后者中

討論了多達四元的高次聯(lián)立方程組解法,聯(lián)系在一起的多項式的表達

和運算以及消去法,已接近近世代數(shù)學(xué),處于世界領(lǐng)先地位,他通曉高

次招差法公式,比西方早四百年,中外數(shù)學(xué)史家都高度評價朱世杰和

他的名著《四元玉鑒》.

8、明代是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展處于低谷的一個時期，試探討這一時

期數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生衰落的原因。

答：從明代起，中國封建社會開始衰落，資本主義因素開始慢慢

地萌發(fā)了，但由于根深蒂固的封建帝王統(tǒng)治的抑制，是資本主義的幼

芽未能順利得以發(fā)展。統(tǒng)治階級為了維護其統(tǒng)治地位，規(guī)定科舉制必

須采用“八股”文體，使得大批的知識分子“皓首窮經(jīng)”，而鄙夷天

文、數(shù)學(xué)等專門學(xué)問為“奇技淫巧”，加上生產(chǎn)水平低下與數(shù)學(xué)理論

高度發(fā)展相脫節(jié)的實際狀況，致使中國數(shù)學(xué)由宋元時期的蓬勃發(fā)展而

突然走向衰落。

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9.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與西方數(shù)學(xué)相比，有哪些重要特點？

（1） 以算法為中心，屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)

中國數(shù)學(xué)不脫離社會生活與生產(chǎn)的實際，以解決實際問題為目標，

數(shù)學(xué)研究是圍繞建立算法與提高計算技術(shù)而展開的

（2） 具有較強的社會性

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中，數(shù)學(xué)被儒學(xué)家培養(yǎng)人的道德與技能的基本

知識---六藝（禮、樂、射、御、書、數(shù)）之一，它的作用在于“通

神明、順性命，經(jīng)世務(wù)、類萬物”，所以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)總是被打上中

國哲學(xué)與古代學(xué)術(shù)思想的烙印，往往與術(shù)數(shù)交織在一起 同時，數(shù)學(xué)

教育與研究往往被封建政府所控制，唐宋時代的數(shù)學(xué)教育與科舉制度、

歷代數(shù)學(xué)家往往是政府的天文官員，這些事例充分反映了這一性質(zhì)

（3） 寓理于算，理論高度概括

由于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重解決實際問題，而且因中國人綜合、歸納

思維的決定，所以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不關(guān)心數(shù)學(xué)理論的形式化，但這并不

意味中國傳統(tǒng)僅停留在經(jīng)驗層次而無理論建樹 其實中國數(shù)學(xué)的算法

中蘊涵著建立這些算法的理論基礎(chǔ)，中國數(shù)學(xué)家習(xí)慣把數(shù)學(xué)概念與方

法建立在少數(shù)幾個不證自明、形象直觀的數(shù)學(xué)原理之上，如代數(shù)中的

“率”的理論，平面幾何中的“出入相補”原理，立體幾何中的“陽

馬術(shù)”、曲面體理論中的“截面原理”（或稱劉祖原理，即卡瓦列利原

理）等等