中國二次型研究的開拓者數學家柯召

中國二次型研究的開拓者——數學家柯召

柯召，數學家，數學教育家。長期在四川大學任教，曾

任該校校長多年。研究領域涉及數論、組合數學與代數學。

在二次型、不定方程領域獲眾多優秀成果。

柯召，字惠棠。1910年出生在浙江溫嶺一個平民家里。

父親柯伯存在當地一家小布鋪中當店員，母親是家庭婦女，

家境窘迫，勉強度日。柯召5歲時，父親即教他認字，訓教

甚嚴。1921年，柯召11歲，本已可升中學，因年幼，父親

便讓他在家鄉讀了一年私塾，從此打下了良好的古漢文基

礎。1922年，入杭州安定中學讀書，1926年畢業。同年考

入廈門大學預科，1928年升入廈門大學數學系。學滿兩年后，

他希望轉學到師資力量更強的清華大學。為籌學費，他去教

了一年中學。1931年，通過考試轉學到清華大學算學系。當

時，在系里任教的有熊慶來、孫光遠、楊武之、胡坤陞等，

和柯召一起聽課的有陳省身、華羅庚、許寶騄、吳大任等。

華羅庚是系里的職員，陳省身和吳大任是研究生，柯召和許

寶騄是本科生。后來，這五人都成了著名的數學家。1933年，

柯召以優異成績畢業。當時的清華大學淘汰率極高，他們那

一屆畢業時僅剩他和許寶騄二人，都是在三年級轉學來的。

楊武之是美國芝加哥大學博士，中國早期從事現代數論研究

的學者，柯召和華羅庚都受他指導，師生情誼很深。課余時

間，柯召常去老師家中下圍棋。楊武之的兒子楊振寧當時還

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年幼，常站在一旁觀棋。

1933年，柯召應姜立夫的聘請，去天津南開大學數學系

當助教。當時南開大學數學系只有他一個助教，任務很重，

他工作孜孜不倦，做得十分出色。

1935年，他考上了中英庚款的公費留學生，去英國曼徹

斯特大學深造，在導師L.J.莫德爾(Mordell)的指導下研究

二次型，在表二次型為線性型平方和的問題上，取得優異成

績，并應邀在倫敦數學會作報告，受到當代著名數學家G.H.

哈代(Hardy)的好評。這是中國人首次登上倫敦數學會的講

臺。1937年，由哈代和莫德爾主考，柯召獲得博士學位。接

著，他在曼徹斯特大學數學系工作一年，指導一位英國學生

取得碩士學位。在英國3年，柯召學習刻苦、工作勤奮，為

他畢生從事數學的教學和研究打下了堅實的基礎。到1938

年為止，才華橫溢的柯召，在《數論學報》、《牛津數學季刊》、

《倫敦數學會雜志》、《倫敦數學會會報》等國際一流雜志上

發表了10多篇極為出色的論文，除了包括二次型方面的一

系列深刻工作外，還包括了中國最早的代數數論和數的幾何

方面的研究成果。

當時，在曼徹斯特大學聚集了一批數論新秀，他們當中除

柯召外，還有P.愛爾特希(Erdos)、H.達文波特(Davenport)、

K.馬勒(Mahler)等人，后來他們都成了國際上的著名數學

家。柯召與愛爾特希在曼徹斯特大學期間合寫了3篇重要論

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文，結下了深厚的友誼，持續至今。52年后，愛爾特希在《四

川大學學報》為慶祝柯召80壽辰出版的專輯上發表文章，

滿懷深情地回憶和柯召在英國同窗的美好日子。

1938年夏，柯召不顧老師莫德爾的再三挽留，滿懷報國

之心，毅然回到正受日本侵略軍蹂躪的祖國。他和留英的李

華宗都來到了成都，受聘為四川大學教授，講授代數和幾何

方面的課程。翌年夏，他任四川大學數學系主任。這時，為

躲避日本侵略軍的空襲，四川大學由成都遷往峨嵋。盡管抗

戰大后方條件極為艱苦，他仍堅持教書育人，積極從事科學

研究;在此期間他與李華宗合作，進行了矩陣代數方面的研

究。特別是他主持數學系之后，很注意科研工作和學生能力

的培養，除課堂教學外，定期舉辦全系的學術討論會。在四

川大學校史上有這樣一段記載：“1938—1942年在峨嵋期

間，數學系每周設專題研究課，召集全系師生作集體研究，

各人闡述自己的研究心得，共同討論，這種專題研究十分吸

引人……它造就了一批在數學上銳進不已的人材。”他和李

華宗合作的論文，以及和他的學生朱福祖合作的二次型方面

的論文，都是這個專題研究課的產物。

1946年，柯召應聘到重慶大學數學系任教授。那時物價

暴漲，貨幣貶值，教員生活非常清苦，柯召仍孜孜不倦從事

教學工作，精心講授“群論”、“數論”等課程，深受學生

中華人民共和國建立后，柯召繼續在重慶大學任教。1953

年，他調回四川大學任教至今。在這40余年間，他以滿腔

的熱情投入教學和科研工作，為國家培養了許多優秀數學人

材，在科研上碩果累累。與此同時，他還先后擔任了四川大

學教務長、副校長、校長、數學研究所所長等職，作為學術

帶頭人和學校負責人，他卓有成效地抓了幾個重要方面的工

作：努力提高教學質量，積極開展基礎理論研究，發展應用

數學，培養一批高水平的人材，等等。

柯召一貫重視提高教學質量，反對“注入式”的教學方

法，主張搞教學的人要積極開展科學研究，使講課深入淺出，

富有啟發性。他自己以身作則，對待教學工作認真負責，從

上基礎課“高等代數”到講授選修課“數論導引”，均一絲

不茍，講解生動，極富啟發性，深受學生的歡迎。他還重視

教材建設，中華人民共和國成立初期，翻譯出版了A.Γ.

庫洛什(Kypoш)的《高等代數教程》、A.и.馬爾采夫

(Mалъцев)的《線性代數學》以及ф.P.甘特馬赫爾

(гантмахер)的《矩陣論》等，前二種教材被當時

各大專院校數學系普遍采用，為數學教育的發展作出了貢

獻。1981年，他與魏萬迪合作編寫出版了《組合論》(上

冊);1986—1987年，他和孫琦合作出版了《數論講義》，這

些教材的出版，受到廣大讀者和國內外同行的好評。

柯召非常重視基礎理論研究。1955年，他帶領一些青年

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教師和學生，在線性型的最大不可表數的問題上，作了不少

工作。同時，他在二次型方面繼續發表了一些優秀論文。特

別在60年代，他在不定方程方面，得到一系列極為出色的

結果。在組合數學方面，與愛爾特希、T.拉多(Radó)

合作，發表了著名的愛爾特希-柯-拉多定理。他主張科研工

作要持之以恒，不能停頓，他說，“研究工作不怕慢，只怕

站”。他長期參加并指導有多名中青年教師參加的數論討論

班，鼓勵大家敢于向難度大的問題挑戰。他用袁枚的一首詩

來表達他對科學研究的深切體會：“但肯尋詩便有詩，靈犀

一點是吾師，夕陽芳草尋常物，解用都為絕妙詞。”他說：

“對科學研究確有此種境界，肯下功夫，總會有收獲，靈感

之來源于刻苦，能靈活運用，可以得出很好的結果。”

柯召很重視數學的應用工作。早在50年代初期，他就在

四川大學數學系提出要發展微分方程、概率統計和計算數學

這三個有重要應用價值的數學分支。60年代初，他曾親自參

加線性規劃的推廣和應用工作。1972—1973年，他不辭辛苦

地同一些中青年教師一道，到四川的滬州、廣元、峨嵋、成

都等地去推廣優選法，舉辦講座。1974-1975年，他親自編

寫了國內第一部組合論講義，作為部隊學員培訓班的教材。

他支持他的學生魏萬迪從事組合數學的研究，支持孫琦、鄭

德勛等開展快速數論變換的研究，使得四川大學在這兩個方

面都取得了不少好成績。80年代初，他又積極帶領四川大學

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數論組的教師從事國防應用數學的研究，開拓數論應用的新

領域，為社會主義現代化服務，取得了豐碩的成果。

柯召認為：“大學的設備，不如師資重要，西南聯合大學

就是證明。它的設備不行，還是培養出了楊振寧、李政道等

多位杰出學者，其原因是西南聯合大學的師資力量很強。”

因此，他熱心于培養學生，提攜優秀人材，反對論資排隊。

50年代以來，他培養過的許多學生，例如陳重穆、陸文端、

張同、鄭德勛、魏萬迪、謝盛剛、孫琦、李德瑯等，如今都

已成長為我國數學教學和研究隊伍中的骨干力量。

柯召是最早的中國科學院數理學部委員之一，長期擔任中

國數學會的領導工作，直至1983年第4屆全國數學大會改

任為名譽理事長。他于1963年和1978年，兩度參加了制定

國家發展規劃的工作，為中國數學事業的發展做了大量的重

要工作。他還擔任過國務院學位委員會第一屆學科評議組成

員，國家教委教材編審組“代數、數論”組成員，《數學學

報》編委，《數學年刊》副主編等多種職務。

柯召還是一位社會活動家。1950年，他參加了九三學社，

歷任九三學社中央常委、副主席、參議委員會副主任，九三

學社四川省主委，四川省政治協商會議副主席，四川省科學

技術協會副主席、名譽主席等職。柯召是第1至第7屆的全

國人民代表大會代表。

從30年代到80年代，柯召發表了上百篇卓有創見的論文，

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其中不少論文從結果到方法在國際上都產生了重大影響，具

有重要的學術價值。

中國二次型研究的開拓者

從30年起，柯召在表二次型為線性型平方和的問題方面，

在二次型表為不可分解型之和以及二次型的等價分類等問

題上，作了一系列重要工作，他是中國二次型研究的開拓者。

1.表平方和問題。

設

是一個整系數正定二次型，Rn表示最小的i，j=1正整數

rn，使得對一個任給的n元二次型f，存在rn個線性型

這里Q表示有理數域。尋求Rn的工作始于E.G.H.蘭道

(Landau)和莫德爾。1937年，莫德爾證明了Rn≤n十3。

1937年，柯召對Rn≤n十3給出了一個簡潔的證明，并于

1938年證明了Rn=n十3，從而徹底解決了這一問題。這是

他在二次型方面的第一個重要工作。

1940年，他還證明了對于任給的非定n元么模二次型f，

存在εi=±1和線性型Li，使得

2.不可分問題。

設f是一個整系數正定二次型，如果f不能表成二個整系

數非負二次型的和，我們稱f是n元不可分解型。1937年，

莫德爾證明了對于n≤5，不存在不可分解型，而在n=8時

有這樣的型存在。柯召和愛爾特希證明了n≥12時，除開

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n=13，17，19，23外，均存在n元不可分解型，使這一問題

得以基本解決。1958年，柯召證明了不存在13元不可分解

型。

3.類數問題。

設Cn，1，代表n元正定么模二次型的類數。C.埃爾米特

(Her-mite)證明了n≤7時，Cn，1=1。1937年，莫德爾證

明了C8，1=2。1938年，柯召證明了n=9，10，11時，Cn，

1=2。同年，他和愛爾特希證明了對適當大的n，Cn，

1≥2√n。1958年至1960年，他先后證明了C12，

1=C13，1=3，C14，1=4，C15，1=5，以及C16，1≥8，并

且找出了每一個類的代表型。

這些結果，至今仍具有重要的學術價值。1988年，在日

本召開的國際信息論會議上，兩位獲獎人中的一位——美國

數學家N.J.A.斯托勒(Stoane)，對一位中國代表談到柯召

30年代有關二次型的論文時說：“我很驚異中國人那么早就

已作出了巨大的成就。”斯托勒還請這位代表帶信向柯召致

意：“我拜讀了您1938年關于二次型的論文，棒極了。”

對不定方程的突出貢獻

柯召從30年代起，就潛心研究不定方程，對這個領域的

貢獻十分突出。

1.愛爾特希猜想的否定。

1938年，愛爾特希猜想：不定方程xxyy=zz (1)無整數解

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x>1，y>1，z>1。1940年，柯召用極其精湛的初等

方法證明了當(x，y)=1時，方程(1)無x>1，y>1，z>1

的整數解;但當(x，y)>1時，有無窮多組解

時至今日，50多年過去了，愛爾特希對這一美妙的結果

仍然贊嘆不已。愛爾特希說：“柯給出的無窮多組解使我十

分驚奇，也許這就是方程的全部解。”事實上，方程(1)有

無其他的解?方程(1)有無奇數解?這是兩個至今仍未解決的

問題。

2.M.維爾納(Werner)猜想的證明。

維爾納猜想：不存在3個有理數，它們的和為1，它們的

乘積也是1。即不定方程

x十y十z=xyz=1無有理數解。

這一猜想在很長時間內使數學家們束手無策。這一猜想等

價于不定方程

x3+y3+z3-xyz=0，(x，y，z)=1

無xyz≠0的整數解。1960年，柯召以其扎實的代數數

論功底，證明了這一猜想。近年來，不定方程x十y十z=xyz=1

已推廣到各種代數數域，引出一系列深刻的工作。

3.柯氏定理，卡塔朗猜想的重大突破。

1842年，法國數學家E.C.卡塔朗(Catalan)提出一個猜

想：8和9是僅有的二個大于1的連續整數，它們都是正整

數的乘冪。這一著名的猜想，在很長一段時間內，甚至連“是

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否有3個連續整數，它們都是正整數的乘冪;以及方程x2=yn

十1(n>3，xy≠0)是否有正整數解”都未解決。1962

年，柯召以極其精湛的方法解決了這兩個難度很大的問題。

他證明了不存在3個連續數都是正整數的乘冪，以及證明了

方程x2=yn十1在n>3時無xy≠0的正整數解。這是

研究卡塔朗猜想的重大突破。莫德爾的專著《不定方程》(The

Diophantine Equations)中把柯召關于方程x2-1=yn的結果

稱為柯氏定理。特別是，他在證明這個定理時，提出了計算

雅可比(Jacobi)符號來研究不定方程的方法，這里n是奇數，

p、q是不同的奇素數。1977年，G.特爾加尼亞(Terjanian)

對偶指數費馬大定理第一情形的證明，以及1983年，A.羅

特基維奇(Rotkiwicz)在不定方程中所取得的一系列重要結

果，都用到柯召的方法和思想。

愛爾特希-柯-拉多定理

設S是一個有限集，|S|=n，AiS，|Ai|≤k，n≥2k，

AAj，|A∩Aj|≠0，1≤i

柯召在治學上一貫是非常勤奮、刻苦和嚴謹的。他長期擔

任重要的社會工作和行政職務，除了教學任務，還能在科研

上不斷寫出高質量的論文，實非易事。他非常善于利用時間。

50年代到60年代，他常在旅途中進行科研，有的論文就是

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在火車上構思的。1974年，他被自行車撞傷，為此臥床近2

個月，而那份組合論講義就是養傷期間在病榻上完成的。在

年過八旬后，他仍經常花大量時間審閱稿件和做評論論文的

工作，關心數論的發展。1990年4月，《四川大學學報》(自

然科學版)為慶祝柯召80壽辰出版了專輯，共發表了獻給柯

召80壽辰的論文38篇，包括愛爾特希、格雷厄姆、R.蒂德

曼(Tijdeman)，以及王元、陳景潤、萬哲先、潘承洞等一批

國內外著名數學家撰寫的優秀論文，充分表明他在數學界享

有的崇高聲譽。他的學術成就和品格，得到了人們的敬重。

1990年4月12日，四川大學和四川省科學技術協會聯合舉

行了慶祝柯召80壽辰暨執教60年大會，有數百人出席，大

會收到全國各地賀電、賀信上百件，人們懷著崇敬的心情，

回顧他幾十年來所走過的成功和艱難的道路，頌揚他為發展

祖國的數學事業所做的無私奉獻。正如中國科學院、國家科

學技術委員會的賀信中所指出的：“數十年來，柯召教授熱

愛社會主義祖國，忠誠人民的教育事業，努力獻身國家的科

學事業，為我國的教育事業和科學技術事業作出了重大貢

獻。”

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