DS證據理論

2024年2月15日發(作者：貨運倉庫)

一.D-S證據理論引入

誕生

D-S證據理論的誕生：起源于20世紀60年代的哈佛大學數學家A.P. Dempster利用上、下限概率解決多值映射問題，1967年起連續發表一系列論文，標志著證據理論的正式誕生。

形成

dempster的學生對證據理論做了進一步發展，引入信任函數概念，形成了一套“證據”和“組合”來處理不確定性推理的數學方法

D-S理論是對貝葉斯推理方法推廣，主要是利用概率論中貝葉斯條件概率來進行的，需要知道先驗概率。而D-S證據理論不需要知道先驗概率，能夠很好地表示“不確定”，被廣泛用來處理不確定數據。

適用于：信息融合、專家系統、情報分析、法律案件分析、多屬性決策分析

二.D-S證據理論的基本概念

定義1 基本概率分配（BPA）

設U為以識別框架，則函數m:2u→[0,1] 滿足下列條件：

(1)m(?)=0

(2)∑A?Um(A)=1 時

稱m(A)=0 為A的基本賦值，m(A)=0 表示對A的信任程度

也稱為mass函數。

定義2 信任函數 （Belief Function）

Bel:2u→[0,1]

Bel(A)=∑B?Am(B)=1 (?A?U)

表示A的全部子集的基本概率分配函數之和

定義3 似然函數（plausibility Function）

pl(A)=1?Bel(A)=∑B?Um(B)?∑B?Am(B)=∑B?A≠?m(B)

似然函數表示不否認A的信任度，是所有與A相交的子集的基本概率分配之和。

定義4 信任區間

[Bel(A)，pl(A)]表示命題A的信任區間，Bel(A)表示信任函數為下限，pl(A)表示似真函數為上限

舉例：如(0.25,0.85),表示A為真有0.25的信任度，A為假有0.15的信任度，A不確定度為0.6

三.D-S證據理論的組合規則

ｍ個mass函數的Dempster合成規則

其中K稱為歸一化因子，1?K 即∑A1?...?An=?m1(A1)?m2(A2)???mn(An) 反映了證據的沖突程度

四.判決規則

設存在A1,A2?U ,滿足

m(A1)=max{m(Ai),Ai?U}

m(A2)=max{m(Ai),Ai?U且Ai≠A1}

若有：

m(A1)?m(A2)>ε1

m(Θ)<ε2

m(A1)>m(Θ)

則A1 為判決結果，ε1，ε2 為預先設定的門限，

五.D-S證據理論存在的問題

為不確定集合Θ

(一)無法解決證據沖突嚴重和完全沖突的情況

該識別框架為{Peter，Paul，Mary},基本概率分配函數為m{Peter},m{Paul},m{Mary}

由D-S證據理論的基本概念和組合規則進行解析

可以看出雖然在W1，W2目擊中，peter和mary都為0.99，但是存在嚴重的沖突，造成合成之后的Bel函數值為0，這顯然與實際情況不合，更極端的情況如果W1中m{peter)=1,W2中m{Mary}=1,則歸一化因子K=0，組合規則無法進行 D-S

(二)難以辨識模糊程度

由于證據理論中的證據模糊主要來自于各子集的模糊度。根據信息論的觀點，子集中元素的個數越多，子集的模糊度越大

(三)基本概率分配函數的微小變化會使組合結果產生急劇變化

在學習筆記（一）中，對D-S證據理論引入，

對D-S證據理論的基本概念和存在的問題進行了學習。學習筆記（二）對證據理論的改進方法進行學習，主要學習了Yager的合成公式

一.Yager合成公式

改進中主要引入了m(X)，把沖突給了未知命題

二.Yager合成公式改進

為了解決多個證據中有一個證據否定A，則合成結果也否認A，對Yager公式進行改進

例2

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