三年級數學下冊素材-還原問題【奧數拓展】(例題+分析)(含答案) 全國通

2024年2月21日發(作者：教學設計ppt)

還原問題【奧數拓展】

應用題：還原問題

知識導航

了解：簡單的計算型還原問題和一半型還原問題。

學習：用畫圖法和列表法進行還原。

掌握：倒推法的解題思路以及方法，會運用倒推法解決問題。

訣竅1

簡單計算型

例題1：

丁丁寫了一個數，他說這個數先加上3，再乘3，然后除以2，最后減去2，結果是10，問：原數是多少？

【解析】

分析時可以從最后的結果是10逐步倒著推，用逆運算進行還原，如果沒減去2，此數是：10+2=12.如果沒除以2，此數是：12×2=24.如果沒乘3，此數是：24÷3=8.如果沒加上3，此數是：8—3=5.綜合算式（10+2）×2÷3—3=5，原數是5.

答：原數是5。

用逆運算還原，加變減，減變加，乘變除，除變乘。

練習1：

有一個數，如果用它加上6，然后乘6，再減去6，最后除以6，所得的商還是6，那么這個數是多少？

例題2：

笑笑老師帶著37名同學到野外春游。休息時，小強問：“笑笑老師您今年多少歲啦？”笑笑老師有趣地回答：“我的年齡乘2，減去16后，再除以2，加上8，結果恰好是我們今天參加活動的總人數。”小朋友們，你知道笑笑老師今年多少歲嗎？

【解析】采用倒推法，我們可以從最后結果“參加活動的總人數”即37+1=38（人）倒著往前推。這個數沒加上8時應是多少？沒除以2時應是多少？沒減去16時應是多少？沒乘以2時應是多少？這樣依次逆推，就可以求出笑笑老師今年的歲數。沒加上8時應是：38—8=30；沒除以2時應是：30×2=60；沒減去16時應是：60+16=76；沒乘以2時應是：76÷2=38，即【（38—8）×2+16】÷2=38（歲）

答：笑笑老師今年38歲。

練習2：

小智問小康：“你今年幾歲？”小康回答說：“用我的年齡數減去8，乘7，加上6，除以5，正好等于4.請你算一算，我今年幾歲？”

例題3：

一種有益的細菌種每小時可增長1倍。現有一批這樣的細菌，8小時候達到200萬個。當它們達到50萬個時，經歷了多長時間？

【解析】首先要明確細菌的變化規律，每小時增長1倍也就是變為原來的2倍，即×2，那么倒推上一步，就需要÷2；已知第8小時漲了1倍后是200萬個，所以第7小時是：200÷2=100（萬個）。同理，第6小時是：100÷2=50（萬個）。所以增長到50萬個時需要6小時。

答：當它們達到50萬個時，經歷了6小時。

練習3：

水池里種植一種水草，每天長1倍，10天能長到20厘米，問長到5厘米要經過多少天？

訣竅總結：

遇加則減，遇減則加，遇乘則除，遇除則乘。

訣竅2

一半型

例題4：

山頂上有棵桃樹，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數的一半多2個，第二天有偷吃了剩下的一半多2個，這時還剩下1個，問：樹上原來有多少個桃子？

【解析】根據題意畫線段圖，再從最后一天進行倒推，第二天吃完剩下的一半多2個后，還剩下1個，說明“剩下的一半”等于1加上2，那么，第二天吃完之前剩下：（1+2）×2=6（個），第一天吃之前就是（6+2）×2=16（個）。

答：把甲級糖和乙級糖混在一起的什錦糖每千克7元。

一半型還原問題，可以通過畫線段圖進行倒推

練習4：

田田看一本故事書，第一天看了這本書的一半又10頁，第二天看了余下的一半又10頁，第三天看了10頁正好看完。這本故事書共有多少頁？

例題5：

李奶奶賣一筐雞蛋，第一位客人買走了一半少2個，1第二位客人又買走了剩下的一半多2個，第三位客人把最后的5個雞蛋全部買走了。李奶奶的籃子里原有多少個雞蛋？

【解析】根據題意畫線段圖，用倒推方法，第三位客人沒買走之前有5個雞蛋。第二位客人沒有買走之前共有（5+2）×2=14（個），第一位客人沒買走之前就是14—2=12（個），12+12=24（個）。

答：李奶奶的籃子里原來有24個雞蛋。

練習5：

田田用4元買了一本《童話大王》，又用剩下的錢的一半買了一本《兒童時代》，買鋼筆時用了第二次剩下錢的一半多1元，最后剩下4元，問：田田原有多少錢？

訣竅總結：

一半還原并不難，找到一半時關鍵，一半多幾用加法，一半少幾用減法。

訣竅3

還原問題的應用

例題6：

從前，有一位樵夫，整天幻想著遇見神仙，求得一種不花氣力就能發財的竅門。一天，有一位老人

突然來到樵夫面前，對他說：“你想見到神仙？”樵夫苦苦哀求道：“我再山里砍了三天柴，累得要死要活，才賣到這么幾個錢。您老人家神通廣大，懇求您指點，使我可以不費力氣就能得到掙錢的方法吧！”老人指著東邊的一座石頭橋說：“好吧！從現在開始，你只要從那座橋上每走一個來回，口袋的錢會增長一倍，但是每次回來要付給我24個錢作為報酬。”樵夫高興地在橋上走了一個來回，它數一數口袋里的錢，果然增長了一倍。它拿出24個錢交給神仙，然后又向橋上走去，等到他第三次回來，把24個錢交給神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一個錢都沒有了。正當他焦急不安的時候，神仙按原數把錢留下飄然而去，并告誡他：“年輕人，不勞而獲棵可不行！”故事講完了，小朋友，你能不能算出，樵夫原來有多少錢？

【解析】

這個故事里包含的題是：樵夫每次在橋上走一個來回，口袋里的錢會增長1倍，也就是變為原來的2倍。每次回來，樵夫都要給神仙24個錢。樵夫第三次回來，交付24個錢給神仙后，他的口袋就一無所有了。問樵夫原來有多少錢？我們可以倒著想，最后樵夫從橋上回來后，口袋里面只有24個錢，第二次交給神仙后有24÷2=12（個）錢，從橋上回來后有：12+24=36（個）錢，也就是第一次交給神仙后還剩：36÷2=18（個）錢，第一次從橋上回來后有：18+24=42（個）錢，所以樵夫一開始有：43÷2=21（個）錢

往返次數 第3次 第2次 第1次

回到神仙處時 24 36 42

離開神仙處時 12 18 21

答：樵夫原來有21個錢。

當次數比較多時，也可以通過列表找規律

練習6：

牧羊人趕一群羊過10條河，每過一條河時都會有一半羊掉入河中，每次牧羊人都只撈上3只羊，最后清查牧羊人還剩6只羊。這群羊在過河前共有多少只？

訣竅總結：

文字理解較繁瑣，提煉翻譯是關鍵。

知識點總結

一、 還原問題

已知一個數，經過某些運算之后，得到一個新數，求原來的數是多少的應用問題。它的解法常常是以新數為基礎，按運算順序倒推回去，解除原數，這種方法叫做逆推法或還原法。這種問題就是還原問題。

二、 解還原問題的方法

1. 在解題過程中注意兩個相反：一時運算次序與原來相反；二十運算方法與原來相反。

2. 方法：倒推法。

3. 口訣：加減互逆，乘除互逆，要求原數，逆推新數。

4. 關鍵：從最后結果出發，逐步向前一步一步推理，每一步運算都是原來運算的逆運算，即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘。列式時還要注意運算順序，正確使用括號。

對于一些比較復雜的還原問題，要學會畫圖或列表，借助圖表倒推，既能理清數量關系，又便于驗算。

參考答案

練習1：1。

練習2：10歲。

練習3：8天。

【解析】倒推：第10天是20厘米，第9天：20÷2=10厘米。第8天：米。

練習4：100頁。

練習5：24元。

練習6：6只。

【解析】還原法列表可知。

÷2=5厘10