(完整版)新北師大初三數(shù)學(xué)下冊圓知識(shí)點(diǎn)匯總

2024年3月23日發(fā)(作者：海寧觀潮)

圓

一. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：

如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則

①點(diǎn)在圓上 <===> d=r;

②點(diǎn)在圓內(nèi) <===> d

③點(diǎn)在圓外 <===> d>r.

二. 圓的對(duì)稱性:

※1. 與圓相關(guān)的概念：

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。

．．．

⑤等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。

⑥等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

．．

⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

．．．

⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.

．．．

※2. 圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。

※3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備：

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧。

上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。

※4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相

等。

推論: 在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組

量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

三. 圓周角和圓心角的關(guān)系:

※1. 圓周角的定義:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.

※2. 圓周角定理； 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

※推論1: 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對(duì)的弧也

相等；

※推論2: 半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；

四. 確定圓的條件:

※1. 理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件:

經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平

分線上.

※2. 定理: 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

※3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念:

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的

外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.

五. 直線與圓的位置關(guān)系

※1.設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；

①d 直線L和⊙O相交.

第1頁

②d=r <===> 直線L和⊙O相切.

③d>r <===> 直線L和⊙O相離.

※2. 切線的判定定理: 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線.

※3. 切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

※推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

※推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

※分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:

如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),就可推出第三個(gè).

①垂直于切線; ②過切點(diǎn); ③過圓心.

※4. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個(gè)三

角形叫做圓的外切三角形.

※5. 三角形內(nèi)心的性質(zhì):

(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.

(2)過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn),該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角.

六. 圓和圓的位置關(guān)系.

※1. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定:

(1)兩圓外離 <===> d>R+r

(2)兩圓外切 <===> d=R+r

(3)兩圓相交 <===> R-r

(4)兩圓內(nèi)切 <===> d=R-r (R>r)

(5)兩圓內(nèi)含 <===> dr)

※2. 相切兩圓的性質(zhì): 如果兩個(gè)圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上.

※3. 相交兩圓的性質(zhì)；相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

七. 弧長及扇形的面積

※1. 圓周長公式:圓周長C=2

?

R (R表示圓的半徑)

※2. 弧長公式: 弧長

l?

n

?

R

(R表示圓的半徑, n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))

180

2

※3. 圓的面積公式. 圓的面積

S?

?

R

(R表示圓的半徑)

※4. 扇形的面積公式:

扇形的面積

S

扇形

n

?

R

2

?

(R表示圓的半徑, n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))

360

八. 圓錐的有關(guān)概念:

※1. 圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計(jì)算:

圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形,這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面

圓的周長、圓心是圓錐的頂點(diǎn).

如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長(扇形半徑)是l, 底面圓周長(扇形弧長)為c,那么它

的側(cè)面積是:

11

S

側(cè)

?cl??2

?

rl?

?

rl

22

S

表

?S

側(cè)

?S

底面

?

?

rl?

?

r

2

?

?

r(r?l)

第2頁

九. 與圓有關(guān)的輔助線

1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過弦的一端作半徑為輔助線.

2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.

3.如一個(gè)圓有切線的條件,常作過切點(diǎn)的半徑(或直徑)為輔助線.

4.若條件交代了某點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí),連結(jié)圓心和切點(diǎn)是最常用的輔助線.

十. 圓內(nèi)接四邊形

若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)

四邊形的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的特征: ①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ);

②圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)錯(cuò)角.

十一.北師版數(shù)學(xué)未出現(xiàn)的有關(guān)圓的性質(zhì)定理

※1.切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平

_

A

分兩條切線的夾角。

如圖6，∵PA，PB分別切⊙O于A、B

∴PA=PB，PO平分∠APB

_

O

※2．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。

如圖7，CD切⊙O于C，則，∠ACD=∠B

_

B

_

6

圖

※3．和圓有關(guān)的比例線段：

①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等；

②推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。

如圖8，AP?PB=CP?PD

如圖9，若CD⊥AB于P，AB為⊙O直徑，則CP

2

=AP?PB

※4．切割線定理

①切割線定理，從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線

段長的比例中項(xiàng)；

②推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積

相等。

如圖10， ①PT切⊙O于T，PA是割線，點(diǎn)A、B是它與⊙O的交點(diǎn)，則PT

2

=PA?PB

②PA、PC是⊙O的兩條割線，則PD?PC=PB?PA

※5．兩圓連心線的性質(zhì)

①如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，或者說，連心線過切點(diǎn)。

②如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。

如圖11，⊙O

1

與⊙O

2

交于A、B兩點(diǎn)，則連心線O

1

O

2

⊥AB且AC=BC。

※6．兩圓的公切線

兩圓的兩條外公切線的長及兩條內(nèi)公切線的長相等。

如圖12，AB分別切⊙O

1

與⊙O

2

于A、B，連結(jié)O

1

A，O

2

B，過O

2

作O

2

C⊥O

1

A于C，

公切線長為l，兩圓的圓心距為d，半徑分別為R，r則外公切線長：

_

P

L?d

2

?(R?r)

2

第3頁

如圖13，AB分別切⊙O

1

與⊙O

2

于A、B，O

2

C∥AB，O

2

C⊥O

1

C于C，⊙O

1

半徑為

R，⊙O

2

半徑為r，則內(nèi)公切線長：

L?

d

2

?(R?r)

2

_

D

_

C

_

B

_A

_P

_O

_B

_A

_O

_

_圖

7

_C

D

圖8

_C

_D

_B

_O

_P

_A

T_

_圖 10

第4頁

_D

_A

_O

P_

_B

圖

_

9

_C

_A

_O

1

_

_C

_B

_圖

11

_O

2

_

_R

_A

_O

1

_

_d

_O

_2

_r

_B

_C

圖_

13