常見的建立數(shù)學(xué)模型的方法
1983年，數(shù)學(xué)建模作為一門獨(dú)立的課程進(jìn)入我國高等學(xué)校，在清華大學(xué)首次開設(shè)。1987年高等教育出版社出版了國內(nèi)第一本《數(shù)學(xué)模型》教材。20多年來，數(shù)學(xué)建模工作發(fā)展的非常快，許多高校相繼開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，我國從1989年起參加美國數(shù)學(xué)建模競賽，1992年國家教委高教司提出在全國普通高等學(xué)校開展數(shù)學(xué)建模競賽，旨在“培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新精神，全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)”。近年來，數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模這兩個術(shù)語使用的頻率越來越高，而數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模也被廣泛地應(yīng)用于其他學(xué)科和社會的各個領(lǐng)域。本文主要介紹了數(shù)學(xué)建模中常用的方法。
常見的建立數(shù)學(xué)模型的方法 1
原型就是人們在社會實(shí)踐中所關(guān)心和研究的現(xiàn)實(shí)世界中的事物或?qū)ο蟆?/span>
模型是指為了某個特定目的將原型所具有的本質(zhì)屬性的某一部分信息經(jīng)過簡化、提煉而構(gòu)造的原型替代物。一個原型，為了不同的目的可以有多種不同的模型。
數(shù)學(xué)模型是指對于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對象，為了某個特定目的，進(jìn)行一些必要的抽象、簡
化和假設(shè)，借助數(shù)學(xué)語言，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具建立起來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
數(shù)學(xué)建模是指對特定的客觀對象建立數(shù)學(xué)模型的過程，是現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象通過心智活動構(gòu)造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符號的表示，是構(gòu)造刻畫客觀事物原型的數(shù)學(xué)模型并用以分析、研究和解決實(shí)際問題的一種科學(xué)方法。
二、教學(xué)模型的分類
數(shù)學(xué)模型從不同的角度可以分成不同的類型，從數(shù)學(xué)的角度，按建立模型的數(shù)學(xué)方法主要分為以下幾種模型：幾何模型、代數(shù)模型、規(guī)劃模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、統(tǒng)計模型、概率模型、圖論模型、決策模型等。
常見的建立數(shù)學(xué)模型的方法 3
1.類比法
數(shù)學(xué)建模的過程就是把實(shí)際問題經(jīng)過分析、抽象、概括后，用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)符號表述成數(shù)學(xué)問題，而表述成什么樣的問題取決于思考者解決問題的意圖。類比法建模
一般在具體分析該實(shí)際問題的各個因素的基礎(chǔ)上，通過聯(lián)想、歸納對各因素進(jìn)行分析，并且與已知模型比較，把未知關(guān)系化為已知關(guān)系，在不同的對象或完全不相關(guān)的對象中找出同樣的或相似的關(guān)系，用已知模型的某些結(jié)論類比得到解決該“類似”問題的數(shù)學(xué)方法，最終建立起解決問題的模型。
2.量綱分析法
量綱分析是20世紀(jì)初提出的在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的一種方法，它是在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用物理定律的量綱齊次性，確定各物理量之間的關(guān)系。它是一種數(shù)學(xué)分析方法，通過量綱分析，可以正確地分析各變量之間的關(guān)系，簡化實(shí)驗(yàn)和便于成果整理。
在國際單位制中，有七個基本量：質(zhì)量、長度、時間、電流、溫度、光強(qiáng)度和物質(zhì)的量，它們的量綱分別為M、L、T、I、H、J和N，稱為基本量綱。
量綱分析法常常用于定性地研究某些關(guān)系和性質(zhì)，利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)建模過程中常常進(jìn)行無量綱化，無量綱化是根據(jù)量綱分析思想，恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度將有量綱量化為無量綱量，從而達(dá)到減少參數(shù)、簡化模型的效果。
3.差分法
差分法的數(shù)學(xué)思想是通過taylor級數(shù)展開等方法把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的方程組，將微分問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，是建立離散動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的有效方法。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有以下幾種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
差分法的求解步驟是:建立微分方程；構(gòu)造差分格式；求解差分方程；準(zhǔn)確性分析和檢查。
4.變分法
變分法是函數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域處理函數(shù)，即泛函問題，相對于普通的函數(shù)微積分處理數(shù)字。這樣的泛函可以通過對未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分來構(gòu)造，最終的函數(shù)就是極值函數(shù)。現(xiàn)實(shí)中的許多現(xiàn)象都可以表示為泛函極小化問題，即變分問題。解決變分問題通常有兩種方法:經(jīng)典
變分法和最優(yōu)控制論。受基礎(chǔ)知識的限制，數(shù)學(xué)建模競賽大專的建模方法較少使用變分法。
5.圖論法
數(shù)學(xué)建模中的圖論方法是一種獨(dú)特的方法。圖論建模是指對一些抽象的事物進(jìn)行抽象和簡化，并用圖形描述其特征和內(nèi)在聯(lián)系的過程。圖論是研究用線連接的點(diǎn)集的理論。圖中的節(jié)點(diǎn)表示對象，兩點(diǎn)之間的連接表示兩個對象之間存在一定的關(guān)系(順序關(guān)系、輸贏關(guān)系、傳遞關(guān)系、連接關(guān)系等。).事實(shí)上，任何包含某種二元關(guān)系的系統(tǒng)都可以用圖形來模擬。因此，圖論是研究自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)問題、管理等社會問題的重要現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，已成為數(shù)學(xué)建模的必要工具。
