綜述古代印度與古代中國數學發展及其聯系

綜述古代印度與古代中國數學發展及其聯系

摘要翻開任何一部中國數學發展史，都不難發現，華夏祖先們每前進一步，都伴隨著奮斗

：

的汗水。中國數學起源于上古至西漢末期，中國數學的全盛時期是隋中葉至元后期。接下來

在元后期至清中期，中國數學的發展緩慢。就在中國數學發展緩慢的時候，西方數學已大跨

步超前，于是在中國數學發展史上出現了一個中西數學發展的合流期。印度數學和近東，特

別是中國的數學便在互相融合，互相促進中發展。盡管中國目前在世界數學的賽場上已處落

后地位，然而，路遙識馬力，今后鹿死誰手，仍然未可知。

關鍵詞：數學發展 聯系 記數 四則運算法 二次方程 代數學

引言 印度是世界上文化發達最早的地區之一，印度數學的起源和中國古老民族的數學起源

一樣，是在生產實際需要的基礎上產生的。但是，印度數學的發展也有一個特殊的因素，便

是它的數學和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發展的。再加上佛教的交流和貿

易的往來，印度數學和近東，特別是中國的數學便在互相融合，互相促進中發展。本篇論文

通過比較古代印度與古代中國數學發展研究數學的歷史。

印度是世界上文化發達最早的地區之一，印度數學的起源和其他古老民族的數學起源一樣，

是在生產實際需要的基礎上產生的。但是，印度數學的發展也有一個特殊的因素，便是它的

數學和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發展的。再加上佛教的交流和貿易的往

來，印度數學和近東，特別是中國的數學便在互相融合，互相促進中發展。另外，印度數學

的發展始終與天文學有密切的關系，數學作品作品大多刊載于天文學著作中的某些篇章。

印度數學的發展大致可以劃分為三個重要時期，首先是雅利安人入侵以前的達羅毗茶人時期

(約公元前3000一前1400年)，史稱河谷文化；隨后是吠陀(Vedas)時期(約公元前10世一前

3世紀)；其次是悉檀多(siddhanta)時期(約公元5世紀一12世紀)。悉檀多時代是印度數學的

繁榮鼎盛時期，其數學內容主要是算術與代數。

印度數學最早有文字記錄的是吠陀時代，其數學材料混雜在婆羅門教和印度教的經典《吠陀》

當中，年代很不確定，今人所考定的年代出入很大，其年代最早可上溯到公元前10世紀，

最晚至公元前3世紀。吠陀即梵文veda，原意為知識、光明，《吠陀》內容包括對諸神的

頌歌、巫術的咒語和祭祀的法規等，這些材料最初由祭司們口頭傳誦，后來記錄在棕櫚葉或

樹皮上。不同流派的《吠陀》大都失傳，目前流傳下來僅有7種，這些《吠陀》中關于廟宇、

祭壇的設計與測量的部分《測繩的法規》（sulva sūtrus,又譯成繩法經），有一些幾何內容

和建筑中的代數計算問題。如勾股定理、矩形對角線的性質、相似直線形的性質，以及一些

作圖法等，在作一個正方形與已知圓等積的問題中，使用了圓周率的以下近似值：，此外還

用到π= 3.004和π= 4 (8÷9)2 = 3.16049的近似值。在關于正方形祭壇的計算中取2π = 1 +

1/3 + 1/ (3×4) －1/ (3×4×34) = 1.414215686。由幾何計算導致了一些求解一、二次代數方程

問題，印度用算術方法給出求解公式。耆那教的經典由宗教原理、數學原理、算術和天文等

幾部分構成，流傳下來的原始經典較少，不過流傳一些公元前5世紀至公元后2世紀的注

釋。其中出現了許多計算公式，如圓周長的計算公式等。

關于公元前2世紀至公元后3世紀的印度數學，可考資料非常少，值得慶幸的是1881年在

今天的巴基斯坦西北地區發現了這一時期的，書寫在樺樹皮上的所謂 “巴克沙利

（bakhshali）手稿”。其數學內容十分豐富，涉及到分數、平方根、數列、收支與利潤計

算、比例算法、級數求和、代數方程等，其代數方程包括一次方程、聯立方程組、二次方

程。特別值得注意的是該書使用了一些數學符號，如減號，將“12 － 7” 記成“12 7＋”，出

現了10個完整的十進制數碼，用點表示“0”.

一. 數字及數字系統

在公元200年到1200年之間，古印度人就知道了數字符和0符號的應用。

1)零當作一個數字

可以確定的是在公元六百五十年左右印度的數學家使用零當作一個數字。印度人也使用位

值系統而將零當作空白位置的表示符號。今日我們所使用的高度發展的數系是從印度的數

字及數字系統逐步演進而來的。

公元前2500年左右,印度最古老的文獻已有“0”這個符號的應用，當時的0在印度表示空的

位置。約在6世紀初，印度開始使用命位記數法。7世紀初印度大數學家葛拉夫.瑪格蒲達

首先說明了0的性質，任何數乘0是0，任何數加上0或減去0得任何數。遺憾的是，他并

沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。也有的學者認為，O的概念之所以在印度產生

并得以發展，是因為印度佛教中存在著“絕對無”這一哲學思想。

婆羅摩笈多的兩部天文著作《婆羅摩修正體系》（628）和《肯德卡迪亞格》（約665），

都含有大量的數學內容，其代數成就十分可貴。他把0作為一個數來處理，9世紀馬哈維拉

和施里德哈勒接受了這一傳統。婆羅摩笈多對負數有明確的認識，提出了正負數的乘除法

則。他曾利用色彩名稱來作為未知數的符號，并給出二次方程的求根公式。

7 世紀以后，印度數學出現了沉寂，到9世紀才又呈現出繁榮。如果說7世紀以前印度的數

學成就總是與天文學交織在一起，那么9世紀以后發生的改變。

2.）引進十進制的數字

這些符號在某些情況下和現在的數字很相近。此后，印度數學引進十進制的數字，同

樣的數字在不同的位置表示完全不同的含義，這樣就大大簡化了數的運算，并使計數

法更加明確。比如，古巴比倫的記號▼既可以表示1，也可以表示1/60，而在古印度人

那里，符號1只能表示1個單位，要表示十、百等，必須在符號1的后面加上相應個數

的符號0。這實在是個了不起的發明，以致于到了現代，人們在計數的時候依然沿用這

種方法。

3)負數

古印度人很早就會用負數表示欠債和反方向運動。他們還接受了無理數的概念，在實

際計算的時候，把適用于有理數的計算方法和步驟運用到無理數中去。另外，他們還

解出了一次方程和二次方程。

4）一次方程和二次方程

從公元七世紀印度的代數有了很大發展, 數學家婆羅摩笈多創立表示量的概念和描述運

算的一套符號，12世紀婆什迦羅提出負平方根的概念、研究無理方程的解法和無理數

的運算法則，把代數學的研究推向了新的階段。

5）三角學

印度數學在幾何方面沒有取得大的進展，但古印度人對三角學貢獻很大。這是他們熱

衷于研究天文學的副產品。如在他們的計算中，用到了三種量——一種相當于現代的

正弦，一種相當于現代的余弦，還有一種稱為“正矢”，在數量上等于1－cosα，這個三

角量現在已經不用了。他們還知道一些三角量之間的關系，比如 “同角正弦和余弦的

平方和等于1”等等，古印度人還會利用半角表達式計算某些特殊角的三角值。

中國數學發展-起源

古希臘學者畢達哥拉斯（約公元約前580~約前500年）有這樣一句名言：“凡物皆數”。

的確，一個沒有數的世界不堪設想。

今天，人們對從1數到10這樣的小事會不屑一顧，然而上萬年以前，這事可讓人們煞費苦

心。在7000年以前，他們甚至連2以上的數字還數不上來，如果要問他們所捕的4只野獸

是多少，他們會回答：“很多只”。如果當時要有人能數到10，那一定會被認為是杰出的

天才了。后來人們慢慢地會把數字和雙手聯系在一起。每只手各拿一件東西，就是2。數

到3時又被難住了，于是把第3件東西放在腳邊，“難題”才得到解決。

就這樣，在逐步摸索中，華夏民族的祖先從混混沌沌的世界中走出來了。

先是結繩記數，然后又發展到“書契”，五六千年前就會寫1~30的數字，到了2000多年前

的春秋時代，祖先們不但能寫3000以上的數學，還有了加法和乘法的意識。在金文周《※

鼎》中有這樣一段話：“東宮迺曰：償※禾十秭，遺十秭為廾秭，來歲弗償，則付秭。”這

段話包含著一個利滾利的問題。說的是，如果借了10捆粟子，晚點還，就從借時的10捆變

成20捆。如果隔年才還，就得從借時的10捆漲到40捆。用數學式子表達即：

10+10=20

20×2=40

除了在記數和算法上有了較大的進步外，華夏民族的祖先還開始把一些數字知識記載在書

上。春秋時代孔子（公元前551~前479）年修改過的古典書籍之一《周易》中，就出現了八

卦。這神奇的八卦至今在中國和外國仍然是人們努力研究和對象，它在數學、天文、物理

等多方面都發揮著不可低估和作用。

到了戰國時期，數學知識已遠遠超出了會數1~3000的水平。這一階段他們在算術、幾何，

甚至在現代應用數學的領域，都開始了耕耘播種。算術領域，四則運算在這一時期內得到

了確立，乘法中訣已經在《管子》、《荀子》、《周逸書》等著作中零散出現，分數計算也

開始被應用于種植土地、分配糧食等方面。幾何領域，出現了勾股定理。代數領域，出現

了負數概念的萌芽。最令后人驚異的是，在這一時期出現了“對策論”的萌芽，對策論是

現代應用數學領域的問題。它是運籌學的一個分支，主要是用數學方法來研究有利害沖突

的雙方，在競爭性的活動中，是否存自己制勝對方的最優策略，以及如何找出這些策略等

問題。這一數學分支是在本世紀第二次世界大戰期間或以后，才作為一門學科形成的，可

是早在2000多年前，戰國時期著名的軍事家孫臏（公元前360~前330年）就提出過“斗馬

術”問題，而這一問題的內容，正反映了對策論中爭取總體最優的數學思想。

當歷史推進到秦漢時期，祖先們不再往骨頭上刻字了。他們把需要記的事都用毛筆寫在竹

片上、木片上，這種寫了字的竹、木片被稱為“簡”或“牘”。這種簡或牘以西漢時期的

流傳下來最多。從那些漢簡中，我們發現，秦漢時期在算術方面乘除法算例明顯增多，還

出現了多步乘除法和趨于完整的九九乘法中訣。在幾何方面，對于長方形面積的計算以及

體積計算的知識也具備了。

這個時期最值得一提的，要算是算籌和十進位制系統了。有了它們，祖先們就不再為沒有

合適的計算手段而發愁了。在我國古代，直到唐朝以前，一直用著這一套計算系統。算籌

的確切起源時間至今還不清楚，只知道，大約在秦漢時期，算籌已經形成制度了。為了計

算方便，古人規定了縱橫表示法。縱表示法用于個、百、萬位數字；橫表示法用于十、千

位數字，遇到零時，則空一位。

十進位制系統，正是我們今天日常生活中常用的逢十進一法。就是說，對正整數或正小數

而言，以十為基礎，逢十進一，逢百進二，逢千進三等等。十進位制系統的產生，為四則

運算的發展創造了良好的條件。

中國數學發展簡史 - 緩慢發展時期

接下來在元后期至清中期，中國數學的發展緩慢，和上面講的數學盛世相比，這一階段幾

乎黯然失色。從宋朝末年到元朝建立中央集權制，中國大地上烽火連年，科學技術不受重

視，大量寶貴的數學遺產遭受損失。明朝建立以后，生產曾在一個短暫時期里有所發展，

但馬上又由于封建統治的腐敗，走向了衰落，直到清朝初年才緩過一口氣來。處在這樣一

種政治腐敗、經濟落后、農民起義此起彼伏的環境中，數學跌入低谷也是情理之中的事。

然而世界發展的潮流歷來是不等人的，乘中國數學衰落的功夫，西方數學悄悄地追上來，

并且反過來滲透進中國。那么這個時期中國自己的數學“特產”是什么呢？是珠算。在隋

唐時期，人們已經開始在改進籌算上打主意了。他們想辦法簡化籌算方法、編口訣??然

而，在迅速發展的數學領域中，籌算法必然會被其他算法所代替。元朝末期，小巧靈便的

算盤出現了。人們看著這計算簡捷、攜帶方便的新工具欣喜異常，甚至有人把它編到了俗

語、詩歌、唱詞中。算盤的出現，很快就引出了珠算口訣和珠算法書籍，16、17世紀，在

中國大量的有關珠算的書籍中，最有名的是程大位的《直指算法統宗》。珠算普及以后，籌

算便自動銷聲匿跡了。就在中國人發明珠算后不久，1642年，19歲的法國數學家巴斯加

（公元1623~1662年）推出了世界上最早的計算機。目前，雖然世界已進入了計算機時代，

然而珠算仍有它的一席之地。有人試過，在加減法運算中，它的速度甚至超過小型計算

器。

中國數學發展簡史 - 中西合流期

在中國數學發展緩慢的時候，西方數學已大跨步超前，于是在中國數學發展史上出現了一

個中西數學發展的合流期，這一時期約為公元1840年~1911年之間。

前面講到，16世紀前后，西方傳教士帶來了一些新的數學知識。盡管有些洋人懷有個人目

的，但不管怎么說，新知識能傳進來，這對中國的數學進展總是有好處的。然而，1723年

清朝雍正皇帝登基時，有人就提出大批傳教士在華，對他們的統治不利。皇帝一想，也

是。于是馬上下令，除了少數在中國編制新歷法的外國人之外，其他傳教士一律不留。

這一命令產生的后果是，在以后大約100年的時間里，西方的數學知識也很難“進口”；

中國數學家只好把眼光從學習西方新知識，轉回到研究自己的舊成果了。

古代數學回光返照的局面沒持續多久，鴉片戰爭失敗了，閉關自守的局面被打開了，帝國

主義列強紛紛進來瓜分中國，中國一時間淪為半殖民地、半封建的社會。

19世紀60年代開始，曾國藩、李鴻章等為了維護腐敗的清政府，發起了“洋務運動”。這

時以李善蘭、徐壽、華蘅芳為代表的一批知識分子，作為數學家、科學家和工程師參加了

引進西學、興辦工廠、學校等活動，經過他們的不懈努力，奠定了近代科技、近代數學在

中國的發展基礎。

當1894年“洋務運動”以軍事失敗而告終時，工廠、鐵路、學校卻保留了下來，科技知識

也在一定的范圍內傳播了開來。

這一時期的特點是中西合流。所謂中西合流，并不是全盤西化，數學工作者們在研究傳統

數學的同時吸收新的方法，一時間，出現了人才濟濟、著述如林的好勢頭。

這時，中國數學家在冪級數、尖錐術等方面已獨立地得到了一些微積分成果，在不定分析

和組合分析方面也獲得了出色的成績。然而，即使是這樣，在世界的同行們之中，中國也

仍然沒達到領先的地位。

中國數學發展簡史 - 古代成就

在中國古代數學發展史中，祖先摘到的金牌足可以開一座陳列館，這里只開一個“清

單”，使讀者有一個直觀印象。

（1）十進位制記數法和零的采用。源于春秋時代，早于第二發明者印度1000多年。

（2）二進位制思想起源。源于《周易》中的八卦法，早于第二發明者德國數學家萊布尼茲

（公元1646~1716）2000多年。

（3）幾何思想起源。源于戰國時期墨翟的《墨經》，早于第二發明者歐幾里德（公元前330~

前275）100多年。

（4）勾股定理（商高定理）。發明者商高（西周人），早于第二發明者畢達哥拉斯（公元

前580~前500）550多年。

（5）幻方。我國最早記載幻方法的是春秋時代的《論語》和《書經》，而在國外，幻方的

出現在公元2世紀，我國早于國外600多年。

（6）分數運算法則和小數。中國完整的分數運算法則出現在《九章算術》中，它的傳本至

遲在公元1世紀已出現。印度在公元7世紀才出現了同樣的法則，并被認為是此法的“鼻

祖”。我國早于印度500多年。

中國運用最小公倍數的時間則早于西方1200年。運用小數的時間，早于西方1100多年。

（7）負數的發現。這個發現最早見于《九章算術》，這一發現早于印度600多年，早于西

方1600多年。

（8）盈不是術。又名雙假位法。最早見于《九章算術》中的第七章。在世界上，直到13

世紀，才在歐洲出現了同樣的方法，比中國晚了1200多年。

（9）方程術。最早出現于《九章算術》中，其中解聯立一次方程組方法，早于印度600多

年，早于歐洲1500多年。在用矩陣排列法解線性方程組方面，我國要比世界其他國家早

1800多年。

（10）最精確的圓周率“祖率”。早于世界其他國家1000多年。

（11）等積原理。又名“祖暅”原理。保持世界紀錄1100多年。

（12）二次內插法。隋朝天文學家劉焯最早發明，早于“世界亞軍”牛頓（公元1642~1727）

1000多年。

（13）增乘開方法。在現代數學中又名“霍納法”。我國宋代數學家賈憲最早發明于11世

紀，比英國數學家霍納（公元1786~1837）提出的時間早800年左右。

（14）楊輝三角。實際上是一個二項展開式系數表。它本是賈憲創造的，見于他著作《黃帝

九章算法細草》中，后此書流失，南宋人楊輝在他的《詳解九章算法》中又編此表，故名“楊

輝三角”。

在世界上除了中國的賈憲、楊輝，第二個發明者是法國的數學家帕斯卡（公元

1623~1662），他的發明時間是1653年，比賈憲晚了近600年。

（15）中國剩余定理。實際上就是解聯立一次同余式的方法。這個方法最早見于《孫子算

經》，1801年德國數學家高斯（公元1777~1855）在《算術探究》中提出這一解法，西方

人以為這個方法是世界第一，稱之為“高斯定理”，但后來發現，它比中國晚1500多年，

因此為其正名為“中國剩余定理”。

（16）數字高次方程方法，又名“天元術”。金元年間，我國數學家李冶發明設未知數的方

程法，并巧妙地把它表達在籌算中。這個方法早于世界其他國家300年以上，為以后出現

的多元高次方程解法打下很好的基礎。

（17）招差術。也就是高階等差級數求和方法。從北宋起中國就有不少數學家研究這個問

題，到了元代，朱世杰首先發明了招差術，使這一總是得以解決。世界上，比朱世杰晚近

400年之后，牛頓才獲得了同樣的公式。

由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文數學受外來文化影響較深，除希臘天文數學

外，也不排除中國文化的影響，然而印度數學始終保持東方數學以計算為中心的實用化特

色。與其算術和代數相比，印度人在幾何方面的工作顯得十分薄弱，最具特色與影響的成

就是其不定分析和對希臘三角術的推進。十進制的建立和零概念的引入為數學的發展奠定

了基礎。

印度人的幾何學是憑經驗的，他們不追求邏輯上嚴謹的證明，只注重發展實用的方法，一

般與測量相聯系，側重於面積、體 積的計算。其貢獻遠遠比不上他們在算術和代數方面的

貢獻大。在叁角學方面，印度人用半弦（即正弦）代替了希臘人的全弦， 製作正弦表，還

證明了一些簡單的叁角恆等式等等。他們在叁角學所做的研究是十分重要的。

總結 印度對代數學做過重大的貢獻。他們用符號進行代數運算，并用縮寫文字表示未

知數。他們承認負數和無理數，對負數的四則運算法則有具體的描述，并意識到具有實解

的二次方程有兩種形式的根。印度人在不定分析中顯示出卓越的能力，他們不滿足 於對一

個不定方程只求任何一個有理解，而致力於求所有可能的整數解。印度人還計算過算術級

數和幾何級數的和，解決過單利與復利、折扣以及合股之類的商業問題。中國古代數學致

力于方程的具體求解，而源于傳統的歐洲數學則不同，一般致力于探究方程解的性質。盡

管中國目前在世界數學的賽場上已處落后地位，然而，路遙識馬力，今后鹿死誰手，仍然

是個“x”

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Banarsidass Publishers,Delhi,2001 2002