中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭,記載著一段周公向商高

中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周

公向商高請教數學知識的對話：

周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子

可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于

天地得到數據呢？”

商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。其中有

一條原理：當直角三角形?矩?得到的一條直角邊?勾?等于3，另一條直

角邊?股?等于4的時候，那么它的斜邊?弦?就必定是5。這個原理是大

禹在治水的時候就總結出來的呵。”

從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人

民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要懂得數學原

理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三

角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖所示，我們

圖1 直角三角形

1

用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）

來表示斜邊，則可得：

勾+股=弦

222

亦即：

a+b=c

222

勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼

哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。其實，我國古代得到

人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說

大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則

可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五

百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例

（3+4=5）。所以現在數學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當

222

的。

在稍后一點的《九章算術一書》中，勾股定理得到了更加規范的

一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它

們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦?！卑堰@段話列成算式，

即為：

弦=（勾+股）

22(1/2)

亦即：

2

c=（a+b）

22(1/2)

中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早

就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三

國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數

結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”

中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上

中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間

懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）。于是便可得如下的式

2

子：

4×（ab/2）+（b-a）=c

22

化簡后便可得：

a+b=c

222

亦即：

c=（a+b）

22(1/2)

3

圖2 勾股圓方圖

趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形

的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又

具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、

互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數學家大多繼承了這

一風格并且代有發展。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是

用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。

中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史

上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的

思想方法，更具有科學創新的重大意義。事實上，“形數統一”的

思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學

家吳文俊所說：“在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往

是形影不離地并肩發展著的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發

明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓后的重現與繼

續?！?/span>

總統巧證勾股定理

(2002-11-27 11:09:18)

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學過幾何的人都知道勾股定理．它是幾何中一個比較重要的定

理，應用十分廣泛．迄今為止，關于勾股定理的證明方法已有500余

種．其中，美國第二十任總統伽菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話．

總統為什么會想到去證明勾股定理呢？難道他是數學家或數學

愛好者？答案是否定的．事情的經過是這樣的；

在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位

中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨

議員伽菲爾德．他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個

小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討．由

于好奇心驅使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底

在干什么．只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三

角形．于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地

說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么

斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問道：“如

果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多

少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平

方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理

嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。

于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的

難題。他經過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出

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了簡潔的證明方法。他是這樣分析的，如圖所示：

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他

對勾股定理的這一證法。

1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統后來，人們為了紀念他

對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總

統?！弊C法。

趣話勾股定理

1955年希臘發行了一張郵票，圖案是由三個棋盤排列而成。

這張郵票是紀念二千五百年前希臘的一個學派和宗教團體 ──

畢達哥拉斯學派，它的成立以及在文化上的貢獻。郵票上的圖案

是對數學上一個非常重要定理的說明。它是初等幾何中最精彩的，

也是最著名和最有用的定理。在我國，人們稱它為勾股定理或商

高定理；在歐洲，人們稱它為畢達哥拉斯定理。

勾股定理斷言：直角三角形的斜邊的平方等于其它二邊的平方的和。如果我

們要找一個定理，它的出現稱得上是數學發展史上的里程碑，那么勾股定理稱得

上是最佳選擇。但是，如果人們要考究這個定理的起源，則常常會感到迷惑。因

為在歐洲，人們都把這個定理的證明歸功于畢達哥拉斯；但通過二十世紀對在美

索不達米亞出土的楔形文字泥版書進行的研究，人們發現早在畢達哥拉斯以前一

千多年，古代巴比倫人就已經知道這個定理。在我國西漢或更早時期的天文歷算

著作《周髀算經》中，第一章記述了西周開國時期（約公元前1000年）商高和

周公姬旦的問答。周公問商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度?！碧斓母?/span>

度和地面的一些測量的數字是怎么樣得到的呢？商高回答：“故折矩以為勾廣

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三，股修四，徑隅五。”即我們常說的勾三、股四、弦五。《周髀算經》里還這

樣記載：周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南

千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益長。候勾六尺，

即取竹，空經一寸，長八尺，捕影而觀之，室正掩日，而日應空之孔。由此觀之，

率八十寸而得徑寸，故此勾為首，以髀為股，從髀至日下六萬里而髀無影，從此

以上至日，則八萬里。

這段文字描述了中國古代人民如何利用勾股定理在科學上進行實踐。錢偉長

教授對這段文字作了詳細的說明：“??商高，陳子等利用立竿（即周髀）測定

日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在鎬京（今西安附近）一帶，

夏至日太陽影長一尺六寸，再正南千里，影長一尺五寸。正北千里，影長一尺七

寸。祖先天才地用測量日影的辦法，推算了夏至日太陽離地的斜高，用同理測定

了冬至日的太陽斜高。又取中空竹管，徑一寸長八尺，用來觀測太陽，我們的祖

先發現太陽圓影恰好充滿竹管的視線，於是用太陽的斜高和勾股的原則，推算太

陽的直徑。這些測定的數據雖然非常粗略，和實際相差很遠，但在三千年前那樣

早的年代，有這樣天才的創造和實踐的觀測精神，是我們應該學習的。”由此，

中國人把這個定理稱為勾股定理或商高定理是完全有道理的。

但是，歐洲人稱這個定理為畢達哥拉斯定理，也有他們的說法。因為是畢達

哥拉斯本人，至少是畢達哥拉斯學派的某一成員首先給出了對這個定理符合邏輯

的證明。雖然，畢達哥拉斯有不少杰出的證明，如利用反證法證明√2不是有理

數，但最著名的就是證明勾股定理了。傳說當他得到了這個定理時，非常的高興，

殺了一頭牛作為犧牲獻給天神。也有些歷史學家說是一百頭牛，這個代價可太大

了！

勾股定理是數學上有證明方法最多的定理──有四百多種說明！希臘郵票上

所示的證明方法，最初記載在歐幾里得的《幾何原本》里。

漢朝的數學家趙君卿，在注釋《周髀算經》時，附了一個圖來證明勾股定理。

這個證明是四百多種勾股定理的說明中最簡單和最巧妙的。您能想出趙老先生是

怎樣證明這個定理的嗎？（提示：考慮黑邊框正方形的面積計算）

商高定理

＂商高定理＂即為勾股定理．

商高是公元前十一世紀的中國人．當時中國的朝代是西周，是奴

隸社會時期．在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作《周髀算經》

中記錄著商高同周公的一段對話．

商高說： ＂?故折矩，勾廣三，股修四，經隅五． ＂

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商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3

（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5．以后人們就簡單

地把這個事實說成 ＂勾三股四弦五 ＂．

由于勾股定理的內容最早見于商高的話中，所以在我國人們就把

這個定理叫作 ＂商高定理 ＂．

關于勾股定理的發現，《周髀算經》上說： ＂故禹之所以治天下

者，此數之所由生也 ＂． ＂此數 ＂指的是＂勾三股四弦五＂，這

句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發現的．

《周髀算經》中還有＂陳子測日＂的記載：根據勾股定理，周子

可以測量太陽的高度、太陽的直徑和天地的長闊等．例如，當求得了

日高及測得了測量人所在位置到日下點的距離之后，計算日遠的方法

是：＂若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股自乘，并開方而

除之，得邪至日者．＂

勾股定理的應用非常廣泛．我國戰國時期另一部古籍《路史后記

十二注》中就有這樣的記載：＂禹治洪水決流江河，望山川之形，定

高下之勢，除滔天之災，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也．＂

這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高

低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的

災害，是應用勾股定理的結果．

勾股定理在我國古代數學中占有十分重要的地位，千百年來逐漸

形成了一門以勾股定理及其應用為核心的中國式的幾何學．

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