數學史研究報告

數學史的課題研究

一、前言

數學起源于人類早期的生產活動，為古中國六藝之一，亦被古希

臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語μαθηματικ??

（mathematikós）意思是“學問的基礎”，源于μ?θημα（máthema）

（“科學，知識，學問”）。

數學最早用于人們計數、天文、度量甚至是貿易的需要。這些需

要可以簡單地被概括為數學對結構、空間以及時間的研究。對結構的

研究是從數字開始的，首先是從我們稱之為初等代數的——自然數和

整數以及它們的算術關系式開始的。更深層次的研究是數論。對空間

的研究則是從幾何學開始的，首先是歐幾里得幾何和類似于三維空間

（也適用于多或少維）的三角學。后來產生了非歐幾里得幾何，在相

對論中扮演著重要角色。到了16世紀，算術、初等代數及三角學等初

等數學已大體完備。17世紀變量概念的產生使人們開始研究變化中的

量與量的互相關系和圖形間的互相變換。隨著自然科學和技術的進一

步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發

展，數學有著久遠的歷史。它被認為起源于人類早期的生產活動; 中

國古代的六藝之一就有“數”，數學一詞在西方有希臘語詞源。

史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質的多少、時間的長

短等抽象的數量關系，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自

然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。已知最

古老的數學工具是發現于斯威士蘭列朋波山的列朋波骨，大約是公元

前35,000年的遺物。它是一支狒狒的腓骨，上面被刻意切割出29個不

同的缺口，使用計數婦女及跟蹤婦女的月經周期。相似的文物也在非

洲和法國被出現，大約有35,000至20,000年之久，都與量化時間有關。

伊香茍骨發現于尼羅河上源之一的愛德華湖西北岸伊香茍地區（位于

剛果民主共和國東北部），年代大約有20,000年，上面刻了三組一系

列的條紋符號。常見的解釋是已知最早的質數序列，亦有認為是代表

六個陰歷月的紀錄。其他地區亦發現不同的史前記數系統，如符木或

于印加帝國內用來儲存數據的奇普。在幾何學方面，公元前五千年的

古埃及前王朝時期即已出現用圖畫表示的幾何圖案。年代大約是公元

前三千年的英格蘭和蘇格蘭地區的巨石文化遺址中，也發現了融入幾

何觀念的設計，包括圓形、橢圓形和畢達哥拉斯三元數。

從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等

相關計算，為了了解數字間的關系，為了測量土地，以及為了預測天

文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、

空間及時間方面的研究。

二、摘要

數學的本質特征是什么？當今數學究竟發展到了哪個階段？在

科學中的地位如何？與其它學科有什么聯系？這些問題大都不被全

面了解，而從數學史中可以找到這些問題的答案。

日本數學家藤天宏教授在第九次國際數學教育大會報告中指出，

人類歷史上有四個數學高峰：第一個是古希臘的演繹數學時期，它代

表了作為科學形態的數學的誕生，是人類“理性思維”的第一個重大

勝利；第二個是牛頓－萊布尼茲的微積分時期，它為了滿足工業革命

的需要而產生，在力學、光學、工程技術領域獲得巨大成功；第三個

是希爾伯特為代表的形式主義公理化時期；第四個是以計算機技術為

標志的新數學時期，我們現在就處在這個時期。而數學歷史上的三大

危機分別是古希臘時期的不可公度量，17、18世紀微積分基礎的爭論

和20世紀初的集合論悖論，它同前三個高峰有著驚人的密切聯系，這

種聯系絕不是偶然，它是數學作為一門追求完美的科學的必然。從這

種聯系中發現數學追求的是清晰、準確、嚴密，不允許有任何雜亂，

不允許有任何含糊，這時候就很容易認識到數學的三大基本特征——

抽象性、嚴謹性和廣泛應用性。

同時，介紹必要的數學史知識可以在學習中對所學問題的背景產

生更加深入的理解，認識到數學絕不是孤立的，它與其他很多學科都

關系密切，甚至是很多學科的基礎和生長點，對人類文明的發展起著

巨大的作用。從數學史上看，數學和天文學一直都關系密切，海王星

的發現過程就是一個很好的例子；它與物理學也密不可分，牛頓、笛

卡兒等人既是著名的數學家也是著名的物理學家。在我們所處的新數

學時期，數學（不僅僅是自然科學）逐步進入社會科學領域，發揮著

意想不到的作用，可以說一切高技術的背后都有某種數學技術支持，

數學技術已經成為知識經濟時代的一個重要特征。這些認識是很有必

要，也是必不可少的。 三、關鍵字

數學的發展、數學史的研究范圍、數學史的研究內容及形式、研

究數學史的重要意義

四、內容

（一）數學的發展

1.古代在中國。南北朝是中國古代數學的蓬勃發展時期，計有《孫

子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作問世。祖沖之、

祖暅父子的工作在這一時期最具代表性。他們著重進行數學思維和數

學推理，在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了一步。根據史料

記載，其著作《綴術》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小

數點后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的約率為

22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值；

歐洲直到16世紀德國人鄂圖（Otto）和荷蘭人安托尼茲（Anthonisz）

才得出同樣結果。②祖暅在劉徽工作的基礎上推導出球體體積公式，

并提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等（“冪勢既同則積不

容異”）定理；歐洲17世紀意大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）才提

出同一定。

賈憲在《黃帝九章算法細草》中提出開任意高次冪的“增乘開方

法”，同樣的方法至1819年才由英國人霍納發現；賈憲的二項式定理

系數表與17世紀歐洲出現的“巴斯加三角”是類似的。秦九韶是南宋

時期杰出的數學家。1247年，他在《數書九章》中將“增乘開方法”

加以推廣，論述了高次方程的數值解法，并且例舉20多個取材于實踐

的高次方程的解法（最高為十次方程）。16世紀意大利人菲爾洛才提

出三次方程的解法。

2.近代在歐洲。數學在文藝復興時期取得了重要發展，三、四次

方程的解法被發現。意大利人卡爾達諾在他的著作《大術》中發表了

三次方程的求根公式，但這一公式的發現實應歸功于另一學者塔塔利

亞。四次方程的解法由卡爾達諾的學生費拉里發現，在《大術》中也

有記載。邦貝利在他的著作中闡述了三次方程不可約的情形，并使用

了虛數，還改進了當時流行的代數符號。符號代數學是由16世紀的法

國數學家韋達確立的。他于1591年出版了《分析方法入門》，對代數

學加以系統的整理，第一次自覺地使用字母來表示未知數和已知數。

韋達在他的另一部著作《論方程的識別與訂正中，改進了三、四次方

程的解法，還建立了二次方程和三次方程方程根與系數之間的關系，

現代稱之為韋達定理。 三角學在文藝復興時期也獲得了較大的發展。

德國數學家雷格蒙塔努斯的《論各種三角形》是歐洲第一部獨立于天

文學的三角學著作。書中對平面三角和球面三角進行了系統的闡述，

還有很精密的三角函數表。哥白尼的學生雷蒂庫斯在重新定義三角函

數的基礎上，制作了更多精密的三角函數表。法國人笛卡兒于1637

年，在創立了坐標系后，成功地創立了解析幾何學。費馬建立了求切

線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻。

其將不定方程的研究限制在整數范圍內，從而開始了數論這門數學分

支。在和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率論的基本原則——

數學期望的概念。

3.現代沒有定論，應該是美國。因為很多科學都離不開數學，特

別是物理學，而數學和物理學又關系到武器等等。從美國的武器應該

可以看出該國的實力。另外，現在世界性的數學獎共有48個，美國頒

發的就有近20個，而獎項得主也以美國為最，這也應該可以從一個側

面看出來。

（二）研究范圍及內容:

1.按研究的范圍又可分為內史和外史。內史：從數學內在的原因

（包括和其他自然科學之間的關系）來研究數學發展的歷史；外史：

從外在的社會原因（包括政治、經濟、哲學思潮等原因）來研究數學

發展與其他社會因素間的關系。數學史和數學研究的各個分支，和社

會史與文化史的各個方面都有著密切的聯系，這表明數學史具有多學

科交叉與綜合性強的性質。

2.從研究材料上說，考古資料、歷史檔案材料、歷史上的數學原

始文獻、各種歷史文獻、民族學資料、文化史資料，以及對數學家的

訪問記錄，等等，都是重要的研究對象，其中數學原始文獻是最常用

且最重要的第一手研究資料。從研究目標來說，可以研究數學思想、

方法、理論、概念的演變史；可以研究數學科學與人類社會的互動關

系；可以研究數學思想的傳播與交流史；可以研究數學家的生平等等。

3. 總結數學史所研究的內容是：數學史研究方法論問題、數學

史通史、數學分科史、不同國家、民族、地區的數學史及其比較、不

同時期的斷代數學史、數學家傳記、數學思想、概念、數學方法發展

的歷史、數學發展與其他科學、社會現象之間的關系、數學教育史、

數學史文獻學。

（三）重要意義

1、科學意義

每一門科學都有其發展的歷史，作為歷史上的科學，既有其歷史

性又有其現實性。其現實性首先表現在科學概念與方法的延續性方

面，今日的科學研究在某種程度上是對歷史上科學傳統的深化與發

展，或者是對歷史上科學難題的解決，因此我們無法割裂科學現實與

科學史之間的聯系。數學科學具有悠久的歷史，與自然科學相比，數

學更是積累性科學，其概念和方法更具有延續性，比如古代文明中形

成的十進位值制記數法和四則運算法則，我們今天仍在使用，諸如費

爾馬猜想、哥德巴赫猜想等歷史上的難題，長期以來一直是現代數論

領域中的研究熱點，數學傳統與數學史材料可以在現實的數學研究中

獲得發展。國內外許多著名的數學大師都具有深厚的數學史修養或者

兼及數學史研究，并善于從歷史素材中汲取養分，做到古為今用，推

陳出新。中國著名數學家吳文俊先生早年在拓撲學研究領域取得杰出

成就，七十年代開始研究中國數學史，在中國數學史研究的理論和方

法方面開創了新的局面，特別是在中國傳統數學機械化思想的啟發

下，建立了被譽為“吳方法”的關于幾何定理機器證明的數學機械化

方法，他的工作不愧為古為今用，振興民族文化的典范。

2、文化意義

美國數學史家M.克萊因曾經說過：“一個時代的總的特征在很大

程度上與這個時代的數學活動密切相關。這種關系在我們這個時代尤

為明顯”。“數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言，數學更主要

是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、

哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的

學說”。數學已經廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現代文化

的主要力量。因而數學史是從一個側面反映的人類文化史，又是人類

文明史的最重要的組成部分。許多歷史學家通過數學這面鏡子，了解

古代其他主要文化的特征與價值取向。古希臘（公元前600年-公元前

300年）數學家強調嚴密的推理和由此得出的結論，因此他們不關心

這些成果的實用性，而是教育人們去進行抽象的推理，和激發人們對

理想與美的追求。通過希臘數學史的考察，就十分容易理解，為什么

古希臘具有很難為后世超越的優美文學、極端理性化的哲學，以及理

想化的建筑與雕塑。而羅馬數學史則告訴我們，羅馬文化是外來的，

羅馬人缺乏獨創精神而注重實用。

3、教育意義

當我們學習過數學史后，自然會有這樣的感覺：數學的發展并不

合邏輯，或者說，數學發展的實際情況與我們今日所學的數學教科書

很不一致。我們今日中學所學的數學內容基本上屬于17世紀微積分學

以前的初等數學知識，而大學數學系學習的大部分內容則是17、18

世紀的高等數學。這些數學教材業已經過千錘百煉，是在科學性與教

育要求相結合的原則指導下經過反復編寫的，是將歷史上的數學材料

按照一定的邏輯結構和學習要求加以取舍編纂的知識體系，這樣就必

然舍棄了許多數學概念和方法形成的實際背景、知識背景、演化歷程

以及導致其演化的各種因素，因此僅憑數學教材的學習，難以獲得數

學的原貌和全景，同時忽視了那些被歷史淘汰掉的但對現實科學或許

有用的數學材料與方法，而彌補這方面不足的最好途徑就是通過數學

史的學習。

（五）總結

在一般人看來，數學是一門枯燥無味的學科，因而很多人視其為

畏途，從某種程度上說，這是由于我們的數學教科書教授的往往是一

些僵化的、一成不變的數學內容，如果在數學教學中滲透數學史內容

而讓數學活起來，這樣便可以激發學生的學習興趣，也有助于學生對

數學概念、方法和原理的理解與認識的深化。科學史是一門文理交叉

學科，從今天的教育現狀來看，文科與理科的鴻溝導致我們的教育所

培養的人才已經越來越不能適應當今自然科學與社會科學高度滲透

的現代化社會，正是由于科學史的學科交叉性才可顯示其在溝通文理

科方面的作用。通過數學史學習，可以使數學系的學生在接受數學專

業訓練的同時，獲得人文科學方面的修養，文科或其它專業的學生通

過數學史的學習可以了解數學概貌，獲得數理方面的修養。而歷史上

數學家的業績與品德也會在青少年的人格培養上發揮十分重要的作

用。

中國數學有著悠久的歷史，14世紀以前一直是世界上數學最為發

達的國家，出現過許多杰出數學家，取得了很多輝煌成就，其源遠流

長的以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化數學模式與古希臘

的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數學模式相輝映，交替影響

世界數學的發展。由于各種復雜的原因，16世紀以后中國落后了，經

歷了漫長而艱難的發展歷程才漸漸匯入現代數學的潮流。由于教育上

的失誤，致使接受現代數學文明熏陶的我們，往往數典忘祖，對祖國

的傳統科學一無所知。數學史可以使學生了解中國古代數學的輝煌成

就，了解中國近代數學落后的原因，中國現代數學研究的現狀以及與

發達國家數學的差距，以激發學生的愛國熱情，振興民族科學。