三角形的重心外心與內心

2024年3月23日發(作者：關于梅花的古詩詞)

三角形的重心外心與內心

三角形是幾何學中最基本也是最重要的圖形之一，它由連結三個非

共線點而成。三角形具有許多重要的性質和特點，其中包括重心、外

心和內心。本文將從重心、外心和內心的定義、性質、計算方法以及

應用等方面進行探討和講解。

一、重心

重心是一個三角形內部一個特殊點，它由三個三角形的垂直平分線

的交點所確定。垂直平分線是由三角形的頂點連結對邊中點而成。

重心的性質如下：

1. 重心所在的垂直平分線，將三角形分成兩等面積的三角形。（垂

直平分線將底邊分成相等的兩部分，因此上下兩個三角形面積相等）

2. 重心到三角形的各頂點的距離，分別相等且比重心到任意其他點

的距離短。（重心是三角形內到各頂點距離之和最短的點）

3. 三角形的重心是三角形內所有到各頂點距離之和最小的點。

計算重心的方法：

設三角形的頂點分別為A、B、C，重心為G，則重心的坐標為：

x = (x1 + x2 + x3) / 3

y = (y1 + y2 + y3) / 3

其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分別是點A、B、C的坐標。

二、外心

外心是一個三角形外接圓的圓心。三角形的外接圓是經過三個頂點

的圓。

外心的性質如下：

1. 三角形的三條邊都是外接圓的直徑。

2. 外心到三個頂點的距離都相等，且外心到任意一邊的距離等于該

邊的半徑。

計算外心的方法：

設三角形的頂點分別為A、B、C，外心為O，半徑為r，則外心的

坐標為：

x = ((x1^2 + y1^2)(y3 - y2) + (x2^2 + y2^2)(y1 - y3) + (x3^2 +

y3^2)(y2 - y1)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))

y = ((x1^2 + y1^2)(x2 - x3) + (x2^2 + y2^2)(x3 - x1) + (x3^2 +

y3^2)(x1 - x2)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))

其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分別是點A、B、C的坐標。

三、內心

內心是一個三角形內切圓的圓心。三角形的內切圓是與三邊相切的

圓。

內心的性質如下：

1. 三角形的三條角平分線交于內心。

2. 內心到三個頂點的距離都相等，且內心到邊的距離等于內切圓的

半徑。

計算內心的方法：

設三角形的頂點分別為A、B、C，內心為I，半徑為r，則內心的

坐標為：

x = (ax1 + bx2 + cx3) / (a + b + c)

y = (ay1 + by2 + cy3) / (a + b + c)

其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分別是點A、B、C的坐標，a、b、

c分別是邊BC、AC、AB的長度。

這是關于三角形的重心、外心和內心的一些基本介紹和討論。這三

個點在三角形的研究和應用中起到了重要的作用。重心、外心和內心

都是由三角形的特殊性質所確定，它們在幾何學和其他學科中都有廣

泛的應用。通過計算可以得到重心、外心和內心的坐標，這些坐標在

解決各種問題和設計中都具有重要的參考價值。