函數(shù)

一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

（一）函數(shù)

1、變量：在一個(gè)變化過程中可以取不同數(shù)值的量。

常量：在一個(gè)變化過程中只能取同一數(shù)值的量。

2、函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值

與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。

*判斷Y是否為X的函數(shù)，只要看X取值確定的時(shí)候，Y是否有唯一確定的值與之對應(yīng)

3、定義域：一般的，一個(gè)函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。

4、確定函數(shù)定義域的方法：

（1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；

（2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；

（3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零；

（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；（5）實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之

有意義。

5、函數(shù)的解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做函數(shù)的解析式

6、函數(shù)的圖像

一般來說，對于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些

點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象．

7、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；

第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點(diǎn)）；

第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來）。

8、函數(shù)的表示方法

列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。

解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問題中的函數(shù)

關(guān)系，不能用解析式表示。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。

(二)、平面直角坐標(biāo)系

1、定義：平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。其中水平的數(shù)軸叫做橫軸（或

x軸），取向右為正方向；豎直的數(shù)軸叫做縱軸（y軸），取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn)O叫做原點(diǎn)。在平面內(nèi)，原點(diǎn)

的右邊為正，左邊為負(fù)，原點(diǎn)的上邊為正，下邊為負(fù)。

2、坐標(biāo)平面內(nèi)被x軸、y軸分割成四個(gè)部分，按照“逆時(shí)針方向”分別為第一象限、第二象限、第三象限、第四

象限

注意：x軸、y軸原點(diǎn)不屬于任何象限。

3、平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線段，在x軸上垂足所顯示的數(shù)稱為該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在y軸上垂

足所顯示的數(shù)稱為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)。點(diǎn)的坐標(biāo)反映的是一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)的位置。

寫坐標(biāo)的規(guī)則：橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間用“，”隔開，全部用小括號(hào)括起來。

如P（3，2）橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為2。

特別注意坐標(biāo)的順序不同，表示的就是不同位置的點(diǎn)。

所以點(diǎn)的坐標(biāo)是一對有順序的實(shí)數(shù)，稱為有序?qū)崝?shù)對。

4、平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。

5、坐標(biāo)的特征

(1)在第一象限內(nèi)的點(diǎn),橫坐標(biāo)是正數(shù),縱坐標(biāo)是正數(shù)；在第二象限內(nèi)的點(diǎn),橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù),縱坐標(biāo)是正數(shù)；

在第三象限內(nèi)的點(diǎn),橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù),縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)；在第四象限內(nèi)的點(diǎn),橫坐標(biāo)是正數(shù),縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)；

(2)x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于零；y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于零．

6、對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征

(1)關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)絕對值相等，符號(hào)相反；

(2)關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)絕對值相等，符號(hào)相反，縱坐標(biāo)相同；

(3)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)絕對值相等，符號(hào)相反，縱坐標(biāo)也絕對值相等，符號(hào)相反。

(4)第一、三象限角平分線上點(diǎn)：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同；

(5)第二、四象限角平分線上點(diǎn)：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

7、點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離

點(diǎn)A（a，b）到x軸的距離為|b|，點(diǎn)A（a，b）到y(tǒng)軸的距離為|a|。

（三）一次函數(shù)

1、一次函數(shù)的定義

一般地，形如

ykxb??

（

k

，

b

是常數(shù)，且

0k?

）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x是自變量。當(dāng)

0b?

時(shí)，一次

函數(shù)

ykx?

，又叫做正比例函數(shù)。

⑴一次函數(shù)的解析式的形式是

ykxb??

，要判斷一個(gè)函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷是否能化成以上形式．

⑵當(dāng)

0b?

，

0k?

時(shí)，

ykx?

仍是一次函數(shù)．⑶當(dāng)

0b?

，

0k?

時(shí)，它不是一次函數(shù)．

⑷正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù)．

2、正比例函數(shù)及性質(zhì)

一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).

注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx(k不為零)①k不為零②x指數(shù)為1③b取零

當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，?直線y=kx經(jīng)過二、

四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．

(1)解析式：y=kx（k是常數(shù)，k≠0）

(2)必過點(diǎn)：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時(shí)，?圖像經(jīng)過二、四象限

(4)增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小

(5)傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

3、一次函數(shù)及性質(zhì)

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例

函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b(k不為零)①k不為零②x指數(shù)為1③b取任意實(shí)數(shù)

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-

k

b

，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直

線y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到.（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k?0)（2）必過點(diǎn)：（0，b）和（-

k

b

，0）

（3）走向：k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限

b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限

?

?

?

?

?

?

0

0

b

k

直線經(jīng)過第一、二、三象限?

?

?

?

?

?

0

0

b

k

直線經(jīng)過第一、三、四象限

?

?

?

?

?

?

0

0

b

k

直線經(jīng)過第一、二、四象限?

?

?

?

?

?

0

0

b

k

直線經(jīng)過第二、三、四象限

（4）增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.

（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.

（6）圖像的平移：當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；

當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.

一次

函數(shù)

??0kkxbk???

k

，

b

符號(hào)

0k?0k?

0b?0b?0b?0b?0b?

0b?

圖象

Ox

y

y

x

OOx

yy

xOOx

yy

xO

性質(zhì)

y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小

4、一次函數(shù)y=kx＋b的圖象的畫法.

根據(jù)幾何知識(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖

象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（0，b），.即橫坐標(biāo)

或縱坐標(biāo)為0的點(diǎn).

b>0b<0b=0

k>0

經(jīng)過第一、二、三象限經(jīng)過第一、三、四象限經(jīng)過第一、三象限

圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大

k<0

經(jīng)過第一、二、四象限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限

圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小

5、正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系

一次函數(shù)y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度而得到（當(dāng)b>0時(shí)，向上平

移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）

“正比例函數(shù)”與“成正比例”的區(qū)別：

正比例函數(shù)一定是y=kx這種形式，而成正比例則意義要廣泛得多，它反映了兩個(gè)量之間的固定正比例關(guān)系，如

a+3與b-2成正比例，則可表示為：a+3=k（b-2）（k≠0）

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)及性質(zhì)

正比例函數(shù)一次函數(shù)

概念一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)

的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k

叫做比例系數(shù)

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，那么

y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，是y=kx，所以

說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

自變量范圍X為全體實(shí)數(shù)

圖象一條直線

必過點(diǎn)（0，0）、（1，k）

（0，b）和（-

k

b

，0）

走向k>0時(shí)，直線經(jīng)過一、三象限；

k<0時(shí)，直線經(jīng)過二、四象限

k＞0，b＞0,直線經(jīng)過第一、二、三象限

k＞0，b＜0直線經(jīng)過第一、三、四象限

k＜0，b＞0直線經(jīng)過第一、二、四象限

k＜0，b＜0直線經(jīng)過第二、三、四象限

增減性k>0，y隨x的增大而增大；（從左向右上升）

k<0，y隨x的增大而減小。（從左向右下降）

傾斜度|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

圖像的

平移

b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；

b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.

6、直線

11

bxky??（0

1

?k）與

22

bxky??（0

2

?k）的位置關(guān)系

（1）兩直線平行?

21

kk?且

21

bb?（2）兩直線相交?

21

kk?

（3）兩直線重合?

21

kk?且

21

bb?（4）兩直線垂直?1

21

??kk

7、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：

（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；

（3）解方程得出未知系數(shù)的值；

（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.

8、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一

次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.

9、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以

看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（小）于0時(shí)，求自變量的取值范圍.

10、一次函數(shù)與二元一次方程組

（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)

b

c

x

b

a

???y

的圖象相同.

（2）二元一次方程組222

111

cybxa

cybxa

??

??

的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

y

y

b

c

x

b

a

b

c

x

b

a

???

???

的圖象的交點(diǎn).

11、一次函數(shù)的圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積

一次函數(shù)y=kx＋b的圖象與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：與y軸的交點(diǎn)（0，b），與x軸的交點(diǎn)（

k

b

-

，0）.直線y=kx＋b

（b≠0）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為

k

b

b

k

b

22

1

s

2

????