中國古代數學家求數列和的方法論文

中國古代數學家求數列和的方法論文

一、倒序相加法

如果一個數列{an},與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把

正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和方法稱為

倒序相加法。倒序相加法是數列求和當中應用最廣的一種解題方法，它的基本

類型可以用公式表示為：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3…具體解法見

下面的例題。

例：設等差數列{an},公差為d,求證：{an}的前n項和Sn=n（a1+an）/2

解：Sn=a1+a2+a3+…+an①

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②

①+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+

（an+a1）

又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

∴2Sn=n（a2+an） Sn=n（a1+an）/2

倒序相加法的解題關鍵就是要能夠看到首項和末項之間的關系，這就需學

生要有一定的敏感度，一眼就能找準解題的方法，然后就是要細心地做。()因

此，做數列題除了要注意總結和歸納解題方法外，大量的習題訓練也是十分必

要的。

二、用公式法

對等差數列、等比數列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n

項和公式進行求解。等差數列的基本求和公式為：Sn=（a1+an）n/2;變形公

式為Sn=na1+n（n-1）d/2（d為公差）。等比數列的求和公式為：Sn=na1

（q=1）；Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）（q為公

比，n為項數）。利用公式來求數列之和是一種比較基本的題型，它的難度不

大，只要掌握基本公式，并且具有一定的敏感度就能做對這類型的題。

三、裂項相消法

裂項相消法是數列求和中比較難的一類題型，因為它不好看出數列之間的

規律。如果裂項不對，也不能將問題解出。裂項相消法的`解題原理是：將數列

的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數列的前

n項和。

四、錯位相減法

若在數列{an·bn}中，{an}成等差數列，{bn}成等比數列，在和式的兩邊同

乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出{anbn}前n項和。

錯位相減法其實并不難，關鍵是要細心，要能找好兩個式子之間的對應

項，如果二者相減的時候沒有找準對應項，即便思路再對，也會滿盤皆輸。因

此，做任何一道數列題，都要求書寫工整，格式規范，以免造成不必要的失

分。

五、疊加法

疊加法主要應用于數列{an}滿足an+1=an+f（n），其中f（n）在等差數

列或等比數列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f（n），代入各項，得

到一系列式子，把所有的式子加到一起，經過整理，可求出an,從而求出Sn.

六、分組求和法

分組求和法就是對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這

類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，最后

將其合并的方法。記住了這一類題型的特點，就能準確找到解題思路。

總之，數列求和以其靈活多變的出題方式和較高的錯題率成為高中數學中

的難點。這類題雖然難，但也并不是無規律可循的。萬變不離其宗，教師在講