方程發展史

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方程發展史

古代方程發展史：

中國古代是一個在世界上數學領先的國家，用近代科目來分類的

話，可以看出無論在算術、代數、幾何和三角各方而都十分發達。現

在就讓我們來簡單回顧一下初等數學在中國發展的歷史。

(一)屬于算術方面的材料

大約在3000年以前中國已經知道自然數的四則運算，這些運算

只是一些結果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的運算規則在后

來的“孫子算經”(公元三世紀)內有了詳細的記載。中國古代是用籌來

計數的，在我們古代人民的計數中，己利用了和我們現在相同的位率，

用籌記數的方法是以縱的籌表示單位數、百位數、萬位數等；用橫的

籌表示十位數、千位數等，在運算過程中也很明顯的表現出來。“孫

子算經”用十六字來表明它，“一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百

相當。”

和其他古代國家一樣，乘法表的產生在中國也很早。乘法表中國

古代叫九九，估計在2500年以前中國已有這個表，在那個時候人們

便以九九來代表數學。現在我們還能看到漢代遺留下來的木簡(公元

前一世紀)上面寫有九九的乘法口訣。

現有的史料指出，中國古代數學書“九章算術”(約公元一世紀前

后)的分數運算法則是世界上最早的文獻，“九章算術”的分數四則運

算和現在我們所用的幾乎完全一樣。

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古代學習算術也從量的衡量開始認識分數，“孫子算經”(公元三

世紀)和“夏候陽算經”(公元六、七世紀)在論分數之前都開始講度量

衡，“夏侯陽算經”卷上在敘述度量衡后又記著：“十乘加一等，百乘

加二等，千乘加三等，萬乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除

退三等，萬除退四等。”這種以十的方冪來表示位率無疑地也是中國

最早發現的。

小數的記法，元朝(公元十三世紀)是用低一格來表示，如13.56

作1356 。在算術中還應該提出由公元三世紀“孫子算經”的物不知數

題發展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一術，這就是中國剩余

定理，相同的方法歐洲在十九世紀才進行研究。

宋朝楊輝所著的書中(公元1274年)有一個1—300以內的因數

表，例如297用“三因加一損一”來代表，就是說297=3×11×9，(11＝

10十1叫加一，9＝10—1叫損一)。楊輝還用“連身加”這名詞來說明

201—300以內的質數。

(二)屬于代數方面的材料

從“九章算術”卷八說明方程以后，在數值代數的領域內中國一直

保持了光輝的成就。

“九章算術”方程章首先解釋正負術是確切不移的，正象我們現在

學習初等代數時從正負數的四則運算學起一樣，負數的出現便豐富了

數的內容。

我們古代的方程在公元前一世紀的時候已有多元方程組、一元二

次方程及不定方程幾種。一元二次方程是借用幾何圖形而得到證明。

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不定方程的出現在二千多年前的中國是一個值得重視的課題，這比我

們現在所熟知的希臘丟番圖方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A

和x3+px2=A形式的三次方程，中國在公元七世紀的唐代王孝通“緝

古算經”已有記載，用“從開立方除之”而求出數字解答(可惜原解法失

傳了)，不難想象王孝通得到這種解法時的愉快程度，他說誰能改動

他著作內的一個字可酬以千金。

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十一世紀的賈憲已發明了和霍納(1786—1837)方法相同的數字

方程解法，我們也不能忘記十三世紀中國數學家秦九韶在這方面的偉

大貢獻。

在世界數學史上對方程的原始記載有著不同的形式，但比較起來

不得不推中國天元術的簡潔明了。四元術是天元術發展的必然產物。

級數是古老的東西，二千多年前的“周髀算經”和“九章算術”都談

到算術級數和幾何級數。十四世紀初中國元代朱世杰的級數計算應給

予很高的評價，他的有些工作歐洲在十八、九世紀的著作內才有記錄。

十一世紀時代，中國已有完備的二項式系數表，并且還有這表的編制

方法。

歷史文獻揭示出在計算中有名的盈不足術是由中國傳往歐洲的。

內插法的計算，中國可上溯到六世紀的劉焯，并且七世紀末的僧

一行有不等間距的內插法計算。

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十四世紀以前，屬于代數方面許多問題的研究，中國是先進國家

之一。

就是到十八，九世紀由李銳(1773—1817)，汪萊(1768—1813)到

李善蘭(1811—1882)，他們在這一方面的研究上也都發表了很多的名

著。

十一世紀，阿拉伯的阿爾·卡爾希第一次解出了二次方程的根。

十一世紀，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系統研究三次方程的書

《代數學》。

十一世紀中葉，中國宋朝的賈憲在《黃帝九章算術細草》中，創

造了開任意高次冪的“增乘開方法”，并列出了二項式定理系數表，這

是現代“組合數學”的早期發現。后人所稱的“楊輝三角”即指此法。

十二世紀，印度的拜斯迦羅著《立刺瓦提》一書，這是東方算術

和計算方面的重要著作。

1202年，意大利的裴波那契發表《計算之書》，把印度—阿拉

伯記數法介紹到西方。

1247年，中國宋朝的秦九韶著《數書九章》共十八卷，推廣了“增

乘開方法”。書中提出的聯立一次同余式的解法，比西方早五百七十

余年。

1248年，中國宋朝的李治著《測圓海鏡》十二卷，這是第一部

系統論述“天元術”的著作。

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1261年，中國宋朝的楊輝著《詳解九章算法》，用“垛積術”求

出幾類高階等差級數之和。

1274年，中國宋朝的楊輝發表《乘除通變本末》，敘述“九歸”

捷法，介紹了籌算乘除的各種運算法。

1280年，元朝《授時歷》用招差法編制日月的方位表(中國 王恂、

郭守敬等)。

十四世紀中葉前，中國開始應用珠算盤。

1303年，中國元朝的朱世杰著《四元玉鑒》三卷，把“天元術”

推廣為“四元術”。

人類對一元二次方程的研究經歷了漫長的歲月，早在公元前

2000年左右，居住在底格里斯河和幼法拉底河的古巴比倫人已經能

解一些一元二次方程。而在中國，《九章算術》“勾股”章中就有一題：

“今有戶高多于廣六尺八寸，?兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？。”

之后的丟番圖（古代希臘數學家），歐幾里德（古代希臘數學家），

趙爽，張遂，楊輝對一元二次方程的貢獻更大。

結繩：最古的記數方法，傳為伏羲所創。

書器：一種最古的記數工具，傳為隸首所創。

河圖，洛書：相傳分別為伏羲、夏禹所作，是為最初的魔方陣。

八卦：傳為周公所創，是最初的二進制法。

規矩：傳為伏羲或綞所創，用以作方圓，測量田地與勘測水道。

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幾何圖案：在金石陶器、石器時代的陶片、周秦時代的彝器已

有簡單 的幾何圖形出現，其種類不下數十種。

九九：即個位數乘法表，傳為伏羲所創。古代數學家以九九之

術作為初等數學的代表。

技術方法：當時是以累積之方法記數，已有百……億，兆等大

數產生，都是以十進制的；也已有分數的產生。當時盛行的籌算，演

變為后來的珠算術。

數論、方程論及數論得到進一步的研究，理論更臻完善。對中算

史加以研究與著成專書。數學教育制度重新建立起來。此期末，西方

數學第二次輸入中國，以補中算的不足，中國數學在此又進入另一階

段。

十七中學 初一四班

及雨晨

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