高中數學_基本不等式(第一課時)教學設計學情分析教材分析課后反思

《基本不等式》教學設計

一、教學目標

1. 知識與技能：了解基本不等式的幾何背景，探索基本不等式的證明

過程，會用基本不等式解決簡單最大（小）值問題。

2. 過程與方法：進一步讓學生探究不等式的代數證明，加深對基本不

等式的理解和認識，提高學生邏輯推理的能力和嚴謹的思維方式。

3. 情感態度與價值觀：培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能

力，培養學生形成數形結合的思想意識。

二、教學重難點

1. 教學重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探

索基本不等式的證明過程，基本不等式在實際問題中的應用。

2. 教學難點：用基本不等式求最大值和最小值。

三、教材分析

最新版教材之所以把“基本不等式”前置是經過了學習的重要性與可

能性兩方面的綜合考量。相比舊教材，“基本不等式”的教材地位與

教學要求都發生的變化，由于“基本不等式”本身內涵非常豐富，其

學習過程不可能一蹴而就，“反復認知，螺旋上升”才是課堂教學的

有效策略。

四、學情分析

本節課針對的是高一年級學生，知識上，剛系統學完了不等式性質，

一元二次不等式，在初中階段，也了解了數學家趙爽“弦圖”推出勾

股定理，圓的垂徑定理，算數平均數、幾何平均數。方法上，能夠運

用數形結合和化歸的思想提煉基本不等式，闡述基本不等式的幾何意

義。能力上，運用作差法，綜合法能從數量關系上進行邏輯推理驗證

基本不等式。

五、教學方法

1、借助“折紙游戲”，從特殊到一般的猜想，發現基本不等式（數學

抽象、直觀想象）。

2、探索基本不等式的證明過程，會用作差比較法、綜合法，分析法，

證明基本不等式（邏輯推理、數學運算、直觀想象）。

3、從不同角度理解基本不等式（直觀想象）。

4、感知與基本不等式相近一些不等式的證明（邏輯推理、數學運算）。

師生活動： 設計意圖：

【新課導入】

教師：同學們，上節課我們從趙爽的弦圖中推導出重要不

等式，讓我們一起來回顧一下。通過比較四個直角三角形和其

拼接而成的正方形的面積大小，我們獲得了結論：任意a,b屬由簡單

22

于R，有，當且僅當a=b時，等號成立。除了這種

a?b?2ab

問題引入，通

幾何的證明方式，我們能否從代數的角度給出證明呢，哪位同

過數學知識

學來說一下？

學生：比較法，做差得到大小關系。

的內部提出

問題。培養學

教師：非常好請坐。那現在我們來思考一個問題，如果用

生自主學習

根a,b代替式子中的a和b，會得出什么樣的結論呢？

學生：

a?b?2ab

教師:那這個結論是如何得到的，又有哪些要求呢，下面

讓我們通過一個折紙游戲來探究一下。

【探索新知】

教師：請同學們看我手中的兩個正方形，面積分別是a和

b，沿對角線對折后，得到兩個三角形，則這個大三角形的面

能力，靈活運

用已學知識，

體會證明的

答題過程。

積是？

學生齊答：a/2

教師：小三角形的面積是？

學生齊答：b/2 用折紙

教師：三角形的腰分別是？ 游戲、代數

學生齊答：根號a和根號b 法、幾何法分

教師：現在請同學們小組互助動手嘗試，看如何拼接翻折別得到基本

得到一個長是根號a寬是根號b的矩形。 不等式的證

（學生上臺演示） 明過程，分析

教師：讓我們對比這兩個三角形的面積之和與矩形的面并理解。培養

積，能得到什么不等關系？ 學生分析問

a?b

?ab

學生：

2

題的能力，感

受發現問題

和推導過程

讓學生

主動觀察、思

考、討論的氛

教師：歷史上，在實際的生產生活中得到了一些數學結論，

后經數學家們的嚴格證明得到了數學公式和定理，你能否利用

代數的方法得到這個結論

學生：比較法，做差得到大小關系。

教師：很好，那么我們得到的這個不等關系就稱作基本不

等式（板書）

基本不等式文字語言可敘述為：兩個正數的算術平均數不

小于它們的幾何平均數.

教師：接下來，讓我們共同探究，能否利用幾何的方法證

明基本不等式。觀察這個以直徑為一邊、圓內接的一個三角形。

如何用a,b表示OD？

學生：

OD?

a?b

2

如何用a,b表示CD？ 圍.在教師的

學生：

DC?ab

觀察OD和DC，他們有什么不等關系？

指導下，一方

面讓學生經

歷從特殊到

a?b

?ab

學生：ODDC，，顯然，當且僅當點C與圓心重

?

2

合，即當a=b時，上述不等式的等號成立.

一般，從已知

到未知，步步

教師：圓的半徑長不小于半弦長，這就是基本不等式的幾

深入的過程。

何意義。

培養學生分

教師：讓我們一起來回顧一下，類比重要不等式，我們從

析問題的能

代數和幾何兩個方法證明了基本不等式.在我們應用它之前，

力，感受發現

a?b

?ab

問題和推導

2

再對著黑板認識一遍：首先.a,b大于0得到...注意

當且僅當a=b時等號成立。

【例題應用】

1

x?

下面我們學以致用看一下例題1:已知，求的最小

x?0

x

過程。

值.

教師：類比基本不等式，這道題中的a是

學生：x

教師：b是

1

學生：

x

x?

1

x

大于等于 教師：那么

培養學

生自主學習

1

2x·

學生：

x

教師：我們發現結果x剛好

學生：消去了 能力，靈活運

教師：得到定值 用已學知識，

學生：2 體會證明的

教師：當且僅當 答題過程

學生：時等號成立

x?

1

x

教師：這時我們得到的是

學生：最小值2

教師：好的，我們類比這道例題完成三個變式，這里請三

位同學上來板書

變式1：已知，求的最小值.

x?0

變式2：已知，求的最大值.

x?0

變式3：已知，求的最小值.

x?1

2x?

1

x

x?

1

x

1

x?1

x?

教師：我們看變式3，如果時，最值還是這個答案嗎

x?4

學生：不是

教師：原因是什么

學生：當且僅當的相等

教師：所以我們運用基本不等式求最值的條件可以總結為

學生：一正、二定、三相等

教師：觀察我們例1和變式，我們發現在利用基本不等式

后兩正數之積為定值，這時我們能求出兩正數之和的最小值，

那么我們是否可以得到結論：

讓我們一起來證明一下

證明：?x?0,y?0,??xy

x?y

2

(1)當積xy等于定值P時，即xy?P

x?y

?P,

2

?x?y?2P,

當且僅當x?y時，上式等號成立，

?當x?y時，和x?y有最小值2P

這里我們得到了第一個模型：

學生：積確定和有最小值

教師：那么當和確定時我們能獲得什么結論呢？

學生：積最小

教師：那讓我們類比第一問，證明第二問

(1) 如果積xy等于定值P，那么當x?y時,和x?y有最小值2P;

1

(2)如果和x?y等于定值S，那么當x?y時,積xy有最大值S.

2

4

（學生答案投影并講解）

教師：這里我們得到了第二個模型

學生：和確定積有最大值

教師：讓我們利用兩個模型完成練習，并總結出兩個結論

（1）已知a?0,b?0,ab?10,當__________時，和a?b取得最小值__________;

（2）已知a?0,b?0,a?b?9,當___________時，積ab取得最大值__________。

【歸納總結】

學生對本節課小結，教師作補充。

本節課通過重要不等式類比學習了基本不等式，通過代

數、幾何兩種方法證明。

利用基本不等式求最值

基本不等式的兩個模型：積定和最小，和定積最大

通過數形結合的思想，理解“形少數時難入微，數缺形時

少直觀”

【課堂小測】

學生三分鐘限時小測，學生對答案，解決問題。

1.判斷對錯：

(1) ?x,y?R,則x?y?2xy. ( )

1

的最小值為2a. ( )(2)當a?0時，a?

2

a

1

(3)若x?2,則x?的最小值是2. ( )

x

1

(4)若x?0,則x?的最大值是-2. ( )

x

3

(5)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( )

??

a＋b

2

??

. ( ) (6)若a>0，b>0，則ab≤

2

??

1

2.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( )

a

A．2 B．22 C．3 D．4

【作業布置】

A層：課本46頁1.2.3，48頁1.2

B層：課本46頁4（嘗試一題多解），48頁5

《基本不等式》學情分析

本節課針對的是高一年級學生，知識上，剛系統學完了不等式性

質，一元二次不等式，在初中階段，也了解了數學家趙爽“弦圖”推

出勾股定理，圓的垂徑定理，算數平均數、幾何平均數。方法上，能

夠運用數形結合和化歸的思想提煉基本不等式，闡述基本不等式的幾

何意義。能力上，運用作差法，綜合法能從數量關系上進行邏輯推理

驗證基本不等式。

《基本不等式》效果分析

基本不等式”雖然表現出很多“基本”的屬性，但實際上基本不

等式蘊含了豐富背景與內涵，需要深入挖掘；在運用其解決最值問題

時也并非只要抓住“一正二定三等”就可以了，很大程度上依賴于變

形化簡的技巧，需要花時間去掌握。因此，學生對數學知識的理解并

不是一蹴而就的，尤其是面對數學一些核心概念、重要的定理與公式，

一般需要經歷從簡單到復雜、從具體到抽象、由低級到高級，在已有

理解基礎上擴展、深化的反復認知過程。正是基于這個基本認知規律

的考量，新教材對“基本不等式”采用了“螺旋上升”的設計策略，

整塊內容被分為兩節，前后知識內容雖然有適當的重復，但在學習要

求上逐步提高，并使后面的內容成為前面內容的擴展和深化，從而使

教材體現出一個“因襲與擴張”相融合的學習進程。

《基本不等式》教材分析

最新版教材之所以把“基本不等式”前置是經過了學習的重要性

與可能性兩方面的綜合考量。相比舊教材，“基本不等式”的教材地

位與教學要求都發生的變化，由于“基本不等式”本身內涵非常豐富，

其學習過程不可能一蹴而就，“反復認知，螺旋上升”才是課堂教學

的有效策略。

本節在前面研究不等式的性質的基礎上，展開了對一種具體的不

等式——基本不等式的研究。研究基本不等式的定義、幾何解釋、證

明方法與應用。基本不等式與學生在初中學過的乘法公式有類似的作

用，乘法公式能夠簡化某些特殊形式的代數式的恒等變形，而基本不

等式使解決滿足一定條件的代數式的最值問題有路可循。

基本不等式可以通過許多有趣的方式建立起來，本節從重要不等

式、（上一節由第24 屆國際數學家大會的會標中抽象得出）說起，

取這個不等式的特殊形式，完成推導過程。教學中可以借助上一節的

會標圖形，幫助學生從直觀上理解a與b是否相等與不等式a2十b2

≥2ab取什么符號之間的關系。

接下來，教科書闡述了基本不等式的代數解釋，這不僅有利于加

深學生對基本不等式的理解，而且與學生已有的平均數概念建立了聯

系，便于學生記憶這個不等式。

此外，教科書在本課時的練習和習題安排了利用基本不等式求代

數式的最大值或最小值的變式練習，如第46頁"練習"的第4題，習

題2.2的第1 題的第（1）小題，是通過變形構造兩個正數的和為定

值或積為定值的問題。教學中可以根據給定代數式的形式，結合基本

不等式的使用條件，引導學生對代數式進行變形。對于這類問題，教

科書有意控制了這種變式問題的難度，設置的問題都是通過簡單變形

就符合基本不等式應用條件的問題。教學中也要注意本部分內容的教

學重點是"能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題"。

例1是用基本不等式求代數式最小值問題中的最簡情形.教科書

在解決問題之前，先解釋了求代數式最小值的含義，在本例之后，還

強調了代數式的最小值必須是代數式能取到的值.本例的解答則從所

求代數式與基本不等式在形式上的聯系入手，教學中可以用"一正、

二定、三相等"這種通俗易懂的語言幫助學生理解和記憶能應用基本

不等式解決問題的特點。

例2讓學生用基本不等式證明兩類最值問題。教科書設置例2的

目的，一是在例1的基礎上再給出一道直接利用基本不等式證明數學

問題的例題;二是借此題的題干給出了利用基本不等式解決問題的兩

個數學模型，根據這兩個數學模型可知，有兩類最值問題可以用基本

不等式解決，即"兩個正數的積為定值，當這兩個數取什么值時，它

們的和有最小值"和"兩個正數的和為定值，當這兩個數取什么值時，

它們的積有最大值"，這就為第二課時解決例3，例4埋下了伏筆。

《基本不等式》課后反思

基本不等式雖然表現出很多“基本”的屬性，但實際上蘊含了豐

富背景與內涵，需要深入挖掘，結合學生自己已有的經驗和知識，類

比重要不等式證明的兩個方法，讓學生經歷了概念概括的過程，從具

體到一般的推廣過程，發展了學生理性的思維能力，樹立了敢于批判

質疑的意識，形成勇于探究思考的習慣。在運用其解決最值問題時也

并非只要抓住“一正二定三等”就可以了，很大程度上依賴于變形化

簡的技巧，需要花時間去掌握。因此，學生對數學知識的理解并不是

一蹴而就的，尤其是面對數學一些核心概念、重要的定理與公式，一

般需要經歷從簡單到復雜、從具體到抽象、由低級到高級，在已有理

解基礎上擴展、深化的反復認知過程。正是基于這個基本認知規律的

考量，新教材對“基本不等式”采用了“螺旋上升”的設計策略，整

塊內容被分為兩節，前后知識內容雖然有適當的重復，但在學習要求

上逐步提高，并使后面的內容成為前面內容的擴展和深化，從而使教

材體現出一個“因襲與擴張”相融合的學習進程。

在本次賽課的準備階段經過一次次的琢磨、改正、調整，我在專

業上得到了進步，不僅對本節課有了更深的理解和把握，同時也加強

了我的教學基本功。在今后的授課當中，也要本著“整合、精簡、建

構，提高”的方向去努力，提高我的教學能力。

《基本不等式》評測練習

【例1】已知，求的最小值.

x?0

x?

1

x

變式1：已知，求的最小值.

x?0

變式2：已知，求的最大值.

x?0

變式3：已知，求的最小值.

x?1

2x?

1

x

x?

1

x

1

x?1

x?

【例2】已知x，y都是正數，求證：

(1) 如果積xy等于定值P，那么當x?y時,和x?y有最小值2P;

1

(2)如果和x?y等于定值S，那么當x?y時,積xy有最大值S.

2

4

練習：

（1）已知a?0,b?0,ab?10,當__________時，和a?b取得最小值__________;

（2）已知a?0,b?0,a?b?9,當___________時，積ab取得最大值__________。

當堂檢測

1. 判斷對錯：

(1) ?x,y?R,則x?y?2xy. ( )

1

(2)當a?0時，a?的最小值為2a. ( )

2

a

1

(3)若x?2,則x?的最小值是2. ( )

x

1

(4)若x?0,則x?的最大值是-2. ( )

x

3

(5)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( )

??

a＋b

2

??

. ( ) (6)若a>0，b>0，則ab≤

??

2

1

2.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( )

a

A．2 B．22 C．3 D．4

作業布置

A層：課本46頁1.2.3，48頁1.2

B層：課本46頁4（嘗試一題多解），48頁5

《基本不等式》課標分析

六、教學目標

4. 知識與技能：了解基本不等式的幾何背景，探索基本不等式的證明

過程，會用基本不等式解決簡單最大（小）值問題。

5. 過程與方法：進一步讓學生探究不等式的代數證明，加深對基本不

等式的理解和認識，提高學生邏輯推理的能力和嚴謹的思維方式。

6. 情感態度與價值觀：培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能

力，培養學生形成數形結合的思想意識。

七、教學重難點

3. 教學重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探

索基本不等式的證明過程，基本不等式在實際問題中的應用。

4. 教學難點：用基本不等式求最大值和最小值。