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素材-數學家的故事：魏晉偉大數學家劉徽

劉徽〔生于公元250年左右〕，是中國數學史上一個非常偉大的數

學家，在世界數學史上，也占有杰出的地位．他的杰作?九章算術注?和

?海島算經?，是我國最寶貴的數學遺產．

?九章算術?約成書于東漢之初，共有246個問題的解法．在許

多方面：如解聯立方程，分數四那么運算，正負數運算，幾何圖形的體積

面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，

而劉徽那么對此均作了補充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創

造性的貢獻．他是世界上最早提出十進小數概念的人，并用十進小數來表

示無理數的立方根．在代數方面，他正確地提出了正負數的概念及其加減

運算的法那么；改進了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了"割圓術"，

即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他

利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.14的結果．劉徽在割圓術中提出的"

割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，那么與圓合體而無所失矣"，

這可視為中國古代極限觀念的佳作．

?海島算經?一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目

的創造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目．

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國最

早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人．

劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格

高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族

留下了寶貴的財富．

劉徽從事數學研究時，中國創造的十進位記數法和計算工具〝算

籌〞已經使用一千多年了。在世界各種各樣的記數法中，十進位記數法是

最先進、最方便的。中國古代數學知識的結晶〝九章算術〞也成書三百多

年了。〝九章算術〞反映的是中國先民在生產勞動、丈量土地和測量容積

等實踐活動中所創造的數學知識，包括方田、粟米、哀分、少廣、商功、

均輸、盈不足、方程、勾股九章，是中國古代算法的基礎，它含有上百個

計算公式和246個應用問題，有完整的分數四那么運算法那么，比例和比

例分配算法，假設干面積、體積公式，開平方、開立方程序，方程術--線性

方程組解法，正負數加減法那么，解勾股形公式和簡單的測望問題算法。

其中許多成就處于世界領先地位。公元元年前年，盛極一時的古希臘數學

走向衰微，〝九章算術〞的出現，標志著世界數學研究中心從地中海沿岸

轉到了中國，開創了東方以應用數學為中心占據世界數學舞臺主導地位千

余年的局面。在編排上，〝九章算術〞或者先提出術文(命題)，后列出幾個

例題，或者先列出一個或幾個例題，后提出術文。然而它對所用的概念沒

有定義，對所有的術文沒作任何推導證明，個別的公式尚有不精確或失誤

之處。東漢以后的許多學者都研究過〝九章算術〞，但理論建樹不大。劉

徽著作的〝九章算術注〞，主要是給〝九章算術〞的術文作解釋和邏輯證

明，更正其中的個別錯誤公式，使后人在知其然的同時又知其所以然。有

了劉徽的注釋，〝九章算術〞才得以成為一部完美的古代數學教科書。

在〝九章算術注〞中，劉徽發展了中國古代〝率〞的思想和〝出

入相補〞原理。用〝率〞統一證明〝九章算術〞的大部分算法和大多數題

目，用〝出入相補〞原理證明了勾股定理以及一些求面積和求體積公式。

為了證明圓面積公式和計算圓周率，劉徽創立了割圓術。在這徽之前人們

曾試圖證明它，但是不嚴格。劉徽提出了基于極限思想的割圓術，嚴謹地

證明了圓面積公式。他還用無窮小分割的思想證明了一些錐體體積公式。

在計算圓周率時，劉徽應用割圓術，從圓內接正六邊形出發，依次計算出

圓內接正12邊形、正24邊形、正48邊形，直到圓內接正192邊形的面積，

然后使用現在稱之為的〝外推法〞，得到了圓周率的近似值3.14，糾正了

前人〝周三徑一〞的說法。〝外推法〞是現代近似計算技術的一個重要方

法，劉徽遙遙領先于西方發現了〝外推法〞。劉徽的割圓術是求圓周率的

正確方法，它奠定了中國圓周率計算長期在世界上領先的基礎。據說，祖

沖之就是用劉徽的方法將圓周率的有效數字精確到7位。在割圓過程中，

要反復用到勾股定理和開平方。為了開平方，劉徽提出了求〝微數〞的思