關于圓的思維導圖

2024年3月23日發(作者：書市)

定義、圓的內部和外部

01 與圓有關的概念

點的軌跡：

圓、垂直平分線、角平分線、平行線

與圓相關的角：

圓周角、圓心角、弦切角、圓內角、圓外角

弦與弧、同心圓、等圓

圓的對稱性：

既是中心對稱，又是軸對稱

垂徑定理：

垂直于弦的直徑平分這條弦

一、圓的有

圓心角定理：

圓心角的度數與它所對弧的度數相等

關概念和性

圓周角定理及推論

是圓心角的一半

質

02 圓的性質

直徑所對圓周角

圓內角定理：

角兩邊及反向延長線所夾兩弧度數之和的一半

圓外角定理：

角兩邊所夾兩弧度數之差的一半

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系：

其中一組量相等，其余各組量分別相等

03 有關半徑、弦、弦

弦長

a

、弦心距

d

、半徑

r

、弓形高

h

心距、弓形高的計算

知道任意二個，可求其它二個

二、與圓有關的位置關系

01點與圓的位置關系

三種位置關系：

點在圓外、圓上、圓內

02 確定圓的條件

①過一點

有無數

②過二點

有無數，但這些圓心在這兩點連線的平分線上

③過同一直線上的三點

無

④過不同直線上的三點

確定一個

（一）點與

圓的位置關

03 三角形的外接圓

定義：

經過三角形各頂點的圓

系

及外心

三角形外心：

外接圓的圓心，是三邊垂直平分線的交點，它到三頂點距離相等

定義：

（特殊）四邊形各頂點都在圓上

04圓的內接四邊形

性質定理：

圓內接四邊形的對角互補，且任一外角都等于它的內對角

（四點共圓）判定：

①一組對角互補 ②一個外角等于它的內對角 ③……

01直線與圓

三種位置關系：

相交(兩個公共點)、相切(唯一公共點)、相離(沒有公共點)

位置關系

r＞d r＝d r＜d

切線的判定定理：

經過半徑外端，且垂直于該半徑

02 圓的切線

切線的性質定理

推論1推論2

切線長定理:

過圓外一點有二條直線與圓相切，該點與切點之間線段長

三角形內切圓定義：

各邊與圓相切，反過來說圓的外切三角形

03 三角形的內切圓

三角形內心：

內切圓的圓心，是三條角平分線的交點，到三邊距離相等

及內心

內心與外心的區別

（二）直線

三角形內切圓的半徑公式

與圓的位置

畫法

關系

04 圓的外切四邊形

定義判定性質：

兩組對邊之和相等

圓的外切多邊形多邊形的內切圓

概念：

頂點在圓上，一邊與圓相切，一邊與圓相交

05 弦切角定理

定理：

弦切角等于它所夾弧的圓周角

推論：

①弦切角度數是所夾弧的度數的一半，②所夾弧相等，弦切角也相等

相交弦定理

06 與圓有關的

及其推論

比例線段

切割線定理

及其推論

01 圓與圓的位置關系

五種：①外離、②外切、 ③相交、 ④內切、⑤內含

(r2＞r1) d＞r

1

+r

2

d=r

1

+r

2

r

2

－r

1

＜d＜r

2

+r

1

d=r

2

-r

1

d＜r

2

-r

1

圓的位置關

圓

圓

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦

02 連心線的性質

相切兩圓的連心線必經過切點

（三）圓與

相離兩圓的連心線平分內公切線的夾角和外公切線的夾角

圓的位置關

系

03 兩圓的公切線

公切線的定義數目

公切線的性質求法

04 圓弧連接

定義外連接內連接連接圖形的畫法

05與圓有關的輔助線

01 正多邊形的定義

各邊相等，各角相等

02 正多邊形與圓的關系

有一個外切圓和一個內切圓，且為同心圓

把圓分成n等分

03 正多邊形的相關

中心中心角

三、正多邊

概念

半徑邊心距

聯系外接圓和內切圓

形與圓

04 正多邊形的性質

對稱性：

既是軸對稱又是中心對稱

相似性：

半徑、邊心距、周長之比等于相似比，面積之比是相似比的平方

05正多邊形的有關計算

歸結為解直角三角形

06正多邊形的畫法

先將一個圓n等分，然后順次連接各等分點

01 圓的周長與面積

面積S=πR

2

周長C=2πR

02 弧長

弧長

l=n×

1

360

×2πR=

nπR

180

03 扇形面積

S=

n

1

360

πR

2

=

2

lR

弓形的周長：弦的長 + 弧的長

04 弓形

弓形的面積

劣弧:S

弓

=S

扇

-S

三角形

四、有關圓

優弧:S

弓

=S

扇

+S

三角形

半圓:

的計算

圓柱的基本特征

05 圓柱

圓柱的側面展開圖：矩形

側面積S

側

=2

π

R

l

圓柱的表面積：

S

表

=S

側

+2S

底

=2πR

l

+2πR

2

圓錐的基本特征

06 圓錐

圓錐的側面展開圖：扇形

側面積S

側

=

π

R

l

圓錐的表面積：

S

表

=S

側

+S

底

=πR（

l

+R）

07 不規則圖形的面積計算

①公式法 ②割補法 ③拼湊法

④等積變形法 ⑤構造方程法 ⑥遷移變換法

01 尺規作圖的概念

㈠作一條線段與已知線段相等

㈡作一個角等于已知角

02 五種基本作圖

㈢作已知角的平分線

五、尺規作

㈣經過一點作已知直線的垂線

圖

㈤作線段的垂直平分線

03 尺規作圖的基本步驟

①已知 ②求作 ③作法 ④證明 ⑤討論 ⑥結論

圖

04 運用基本作圖作三角形

05 探索過一點、兩點和不

看例題練習

06 如何分析作圖題在同一直線上的三點作圓